Hidrológiai Közlöny 1972 (52. évfolyam)
8. szám - Korszerű eszközök, matematikai módszerek
336 Hidrológiai Közlöny 1972. 8. sz. Korszerű eszközök, matematikai módszerek egy példaképpen kiragadott változást fejez ki, a következő összefüggések szerint (1. ábra): i=i 0=const. és h—ioi + bi 1 é s egyidejűleg — ^02 ®2 (2/a) (2/b) Ii- (JeQ ^ lCfjb (3) ahol /L 0 és « a talajt jellemző állandók (k x a legkisebb beszivárgási sebesség, amely zérus is lehet). A q* (x, y, t) ismeretében a lejtőkön (a nagyüzemi táblákon, vagy szemszögünkből nézve, a lefolyási területi egységeken) a tározás alapegyenlete a köve tkezőképpen írható fel általános alakjában: t y L t Lr, t= J [i{x,y,t)-k{x,y,t)'\Láti ßvT^ (4) ahol Lu a lejtő hossza, y L t a lepelszerűen mozgó víz mélysége a lejtő alján, t a futó idő, t 1 az az idő, amelytől kezdve az i^>k, tehát megjelenik a felszíni víz, a tározási tényező a sebességi tényező, amelynek a kapcsolata a sebességgel a következő: V ß -ßy" (5) ahol m 0,4—1,0 közötti értékű lehet. Az egyenletnek zárt formában adja megoldását Jacquier arra az egyszerű esetre, ha i=const., &=const., í7=const. és m— 1. Ha az i=const., k=k f l t~ a összefüggést, az rj=0,5-öt és m=l-et tételezzük fel, akkor a (4) egyenlet differenciálás után a következő alakba írható: y'u + y\ß j- - 2i + 2 k 0t~ a = 0. (6) Ez az utóbbi egyenlet hasonló a üüccaíi-típusú differenciál-egyenletekhez: y'=f(x) y-+g{x) y+h(x), (6/a) ahol esetünkben: Az ismertetendő eljárás lehetőséget ad különben a területi és időbeli változások igen sokrétű figyelembevételére. (A területi változás például mezőgazdasági nagyüzemi táblákként a különböző táblákon különböző, de egy-egy táblán belül azonos értékkel érzékeltethető.) A beszivárgás (k, [m/s]) területi és időbeli változásainak felmérésével sem foglalkozunk itt részletesen, csak kiemeljük, hogy ezt a kérdést is részletesen elemeztük, s a megfelelő matematikai segédeszközöket alkalmaztuk, s feladatunkat megoldottuk. Közvetlen vizsgálataink során megállapítottuk (Kazó Béla közreműködésével) pl. a beszivárgási sebesség változásait a lejtőszögnek, a talajminőségnek, az eső során bekövetkező talajtömörödésnek a függvényében. Jelen vizsgálatainknál a következő közelítő függvény-alakot alkalmaztuk: az f(x) = — ß— állandó, 1/ a g( x) yL=o és a h(x)=2{i-k 0 t~ a). Sajnos az egyenlet látszólagos egyszerűsége ellenére sem oldható meg zárt alakban. Iterációs közelítéssel (Bajcsay Pál) azonban megoldható! Legújabb munkáinkban az általános (4) egyenletnek számítógépre alkalmazható megoldását tűztük ki célul, s csak rj értékét vettük továbbra is állandónak. A (4) alatti egyenlet a következő alakba írható Frivaldszky Sándor megfogalmazása szerint: es y=Ay x+ m + C[t) A<0, C(í)>0. (?) Ebben a kifejezésben a C(t) függvény szakaszonként folytonosan differenciálható, vagyis az y(t) második deriváltja szakaszonként folytonos. A differenciálegyenlet megoldásához ennek megfelelően az yn+i^yn + hyú (8) típusú módszert használjuk, megfelelően kicsi lépésköz mellett. A program a lépésközt automatikusan felezi mindaddig, amíg két egymásutáni számolás eredményében a megoldásgörbe maximumpontjának relatív hibája 1%. A kezdő lépésköz az alapintervallum 1/ 1 0-e volt. Ha a vizsgálandó intervallum túl nagy, akkor az intervallum végén a C(t) függvény negatív is lehet. Ekkor az időintervallumot úgy kell lerövidíteni, hogy C(í)>>0 maradjon. Ehhez meg kell oldani a C(f)=0 (9) egyenletet, amelyet a í=C ff l(t) (10) alakba írunk át, s ezt C„(<)<0 miatt a módosított iterációs módszerrel oldjuk meg, a <n + Co(<») tn +1 = (11) formula szerint. A program egy MINSZK—22 elektronikus számológépre készült MITRA—2 programnyelven. Egy-egy variáns kiszámítása mintegy 3 percig tart. Egy variáns 6 egyenlet megoldását jelenti, kétféle esőintenzitás (egy állandó és egy változó) mellett számol 3 — 3 lejtőhosszúsághoz (20 m, 110 m ós 200 m) tartozó értékeket. A megoldás arra az esetre érvényes, ha a lejtő hajlásszöge állandó.
