Hidrológiai Közlöny 1971 (51. évfolyam)

2. szám - Dr. Nagy Lajos: Rugalmas nyomáshullámok elektromos modellezése elágazó csővezetékek esetében

Dr. Nagy L.: Rugalmas nyomáshullámok modellezése Hidrológiai Közlöny 1971. 2. sz. 73 a nyomóerő két ellentétes irányú erő különbségeként adódik, melyek közül az első a bal oldali körlapra ható F • p erőnek és a jobb oldali lapra ható F^p + ~ dx j erőnek a különbségeként lép fel: ahol a o sűrűségnek az F-to-ál térfogattal való . Dv ,, . , . es —— a gyorsulást jelenti. F> Itt a —. differenciálási szimbólumot ugyanabban szorzata a tömeget

1 Dt dv d.r dv : fiix'7Í?

+d/' d/ dv dv dt~

l dx + (4) Ez a felírási mód a gyorsulást két összetevőre bonjta: az ún. konvekciós és a lokális gyorsulásra, melyek közül a konvekciós és ^ a lokális dx dt gyorsulás. A következőkben be fogjuk mutatni, hogy a probléma differenciálegyenlet-rendszerének első differenciálegyenletét azzal a jogos feltevéssel írhatjuk fel végleges alakjában, hogy a konvekciós gyorsulás a lokális gyorsulással szemben elhanyagolható. Ezt a gondolatmenetet csak akkor érthetjük meg, ha figyelembe vesszük, hogy a hangnak a vízben való terjedési sebessége co= 1400 m/ /sec a csőben mozgó víz áramlási sebességéhez v = = 5 m/sec-hoz képest igen nagy. A csőben terjedő nyomáshullámban uralkodó nyomás és sebesség a hullámhoz képest nyugalomban levő észlelő számára állandó változást mutat. Ezzel szemben a hullámmal együttmozgó észlelő számára mind a mozgás, mind a sebesség állandó. Ezt a körülményt úgy fejezhetjük ki, hogy mind a nyomás, mind a sebesség elemi növekményének (totális differenciál) szükségszerűen zérusnak kell lennie. A többváltozós függvények totális differenciáljának képzésére szolgáló szabály értelmében a v=v(x, t) sebesség totális differenciálja ígv , dv , dv , dv = -j- d.r -f — dí = 0, dx dt vagy mivel a fentiek értelmében dx=co-dl. alatti összefüggést így is írhatjuk dv , dv , dt' = — (o dt + — d/ = 0. dx dt Ezen egyenlet alkalmas rendezésével és való rövidítés után dv dv ~dt~ ~dx

M' vagy ugyanezt a következő alakban felírva: dv I dx dt « 1. (5) az (5) (6) d/-vel (V (8) 1 Newton a II. axiómát eredeti alakjában úgy fogalmazta meg, hogy az erőt az mv mozgásmennyiség (impulzus) időszerinti elsőrendű differenciálhányadosaként definiálta, hol az m tömeg is függhet az időtől. A mi esetünkben a tömeget állandónak tekintjük. Most emlékeztetünk arra a körülményre, hogy a hangnak a vízben való terjedési sebessége <o az áramlási sebességhez r-hez viszonyítva igen nagy, miért is — s ígv a vele egyenlő hányados l-hez kéaz értelemben használjuk, mint a hidrodinamika alapegyenleteinek felállításánál, ahol a gyorsulást a következő kifejezéssel definiáljuk: Dv _dv(x,t) ~Dt~ dí " ü) pest igen kicsiny. Ez csak akkor lehetséges, ha a (8) alatti tört számlálója a nevezőhöz képest elhanyagolható. Ezért problémánk differenciálegyenletrendszerének (3) alatti első differenciálegyenletét a Dv _ dv dv ~ijr~

vdx

+~di kifejezés tekintet bevételével

2 végleges alakjában így írhatjuk: Már itt felhívjuk a figyelmet arra a fontos körülményre, hogy ez az elsőrendű parciális differenciálegyenlet alakilag teljesen megegyezik az elektromos távvezetékek differenciálegyenlet-rendszerének első differenciálegyenletével arra az esetre, ha a vezeték ohmos ellenállását és az átvezetést elhanyagoljuk. Ez az egyenlet a következő: 811 j. di dx~ ^ ~di (10) A két legutóbbi egyenlet között a különbség csak az, míg a (9) alatti hidraulikus egyenletben p a nyomást, v a sebességet és o a folyadék sűrűségét jelenti, az elektromos rendszer (10) alatti egyenletében u a feszültséget i az áramerősséget és L a vezeték hosszegységére eső önindukciós tényezőt jelenti; (x mindkét esetben a vezeték kezdőpontjától mért hosszúság és t az idő). Miként azt a következő fejezetben részletesen levezetjük, az elektromos távvezetékek differenciálegyenlet -rendszerének másod i k <1 ifferenciá 1 egvenlete a következő: di c du dx dt I) ahol i az áramerősséget, u a feszültséget és (J a távvezeték hosszegységére eső kapacitást jelöli. Az ezen egyenletnek megfelelő hidraulikai egyenlet felállítása jóval körülményesebb, mint a (9) alatti egyenleté, s úgy véljük, hogy a levezetés részleteibe való elmélyedés itt csak az áttekinthetőség rovására menne. Ezért annak felállításával kapcsolatban a hidraulikai irodalom megfelelő műTegyük be ezt a kifejezést a 3. alatti egyenletbe a f)t helyébe; így Q-F -oi • c Ha figyelembe vesszük, hogy <u-dí = d.r és (8) érteimémellet t elhanyagolható, a szükséges rövidv di> be

n 8Í " ¥ dítések elvégzése után kapjuk a o dv dp dt d.r tet, amely a (!)) ulalli egyenlettel azonos. egyenle-