Hidrológiai Közlöny 1971 (51. évfolyam)

2. szám - Dr. Nagy Lajos: Rugalmas nyomáshullámok elektromos modellezése elágazó csővezetékek esetében

84: Hidrológiai Közlöny 1971. 2. sz. HIDROGEOLÓGIA Rugalmas nyomáshullámok elektromos modellezése elágazó csővezetékek esetében Dr. X A U Y I, A í O S* A kosütés hidromechanikai problémájának differenciálegyenlet-rendszere a súrlódási ellenállás figyelmen kívül hagyásával alakilag teljesen egyezik az elektromos távvezetékek differenciálegyenlet-rendszerével, ha az utóbbiban az ohmikus ellenállást elhanyagoljuk. Ez a körülmény teszi lehetővé, hogy az esőszerű öntözőberendezések csőhálózatában fellépő rugalmas nyomáshullámok terjedését, visszaverődését, az utóbbi által okozott interferenciajelenségeket elektromos vezetékek elágazott rendszerével modellezhessük. Ez az analógia természetesen csak megközelítésekkel érvényes, különösen, ha a hidraulikus csőhálózat modellezésére folytonos eloszlású paraméterekkel rendelkező elektromos távvezetékek helyett koncentrált paraméterű (tekercseket és kondenzátorokat tartalmazó) ún. késleltető művonalakat használunk. A hidromechanikai rendszer és az ennek analógiáját képező elektromos rendszer alapegyenleteinek alaki egyezése egyben módot nyújt arra, hogy a „terjedési együttható", a „hullámellenállás" és a „visszaverődési tényező" fogalmát, melyeket az elektromos távvezetékek elmélete vezetett be, az öntöző csőhálózatok esetében is értelmezhessük és szabatos alakban definiálhassuk. E körülmény hasznossági értékét a műszaki gyakorlat számára azonnal felismerjük, ha meggondoljuk, hogy e kvantitatív egyezések nemcsak az ily hidraulikai létesítmények tervezése és számítása számára jelölik ki az utat, de a csőhálózatban fellépő, nehezen áttekinthető jelenségek egységes és alapos tanulmányozása révén, módot nyújtanak a hulláminterferencia által okozott károk, „csőtörések" és egyéb nem kívánt üzemzavaró tények megelőzésére és kiküszöbölésére. Hogy e megállapításaink reálisan megalapozottak, arról meggyőződhetünk, ha a szóban forgó hidraulikai, illetve elektromos rendszer alapegyenleteinek alaki megegyezését szigorúan egzakt alapon igazoljuk. E körülmény egyben biztosítékot nyújt arra nézve is, hogy a két különböző fizikai természetű műszaki probléma megfogalmazására és megoldására szolgáló egész matematikai apparátus is teljes alaki egyezést mutat. I. A kosütés differenciálegyenlet-rendszerének felállítása A csővezetékben fellépő rugalmas nyomáshullámok hosszmenti és időbeli lefolyását ismertnek tekintjük, ha ismerjük a következő két függvényt: p = p(x,t) és v=v(x, /). (1) * Vízgazdálkodási Tudományos Kutató Intézet, Budapest . Ezek kétváltozós függvények, melyek közül az első minden x helyre és minden t időpontra nézve megadja a nyomás értékét, vagyis a nyomásnak a csőmenti és időbeli eloszlását. Hasonlóképpen a második függvény a sebesség hosszmenti és időbeli változását határozza meg. Mint minden probléma megoldása esetében, úgy itt is mindenekelőtt a következő kérdést kell felvetnünk : Mit keresünk ? — Mi éppen ezt a két függvényt keressük, melyek 2 elsőrendű parciális differenciálegyenletből álló parciális differenciálegyenlet-rendszer megoldásaként adódnak. Ezért legelőször is ezt a differenciálegyenlet-rendszert kell felállítanunk. A kosütés által a körkeresztmetszetű csőben keltett nyomáshullám a hang terjedési sebességével terjed a középső nyíllal feltüntetett hányban (ha a kosütés a csővezeték jobb oldali végén következett be: jobbról balra). Ezt a sebességet a vízre vonatkoztatjuk és eo-val jelöljük (7. ábra). így e dx=u)-dt 1. ábra. Az elemi folyadék-hengerben fennálló infinitezimális vonatkozások• szemléltetése a nyomáshulláin differenciálegyenletének felállításához Puc. I. H3onpa3iceiiue ti H<p u i mm ej um a.i hitux omnouienuü e 3AeMenmapnoM cmoAőe .vcuőKocmu ÖA.H nocmpoenun dutp(pepeiuiitaAbitbix ypaenetiufí BOAH daeAeimu Abb. 1. Veranschaulichung der in der elementaren Flüssigkeitswalze hestehenden infinitesimalen Bezieliungen zur Aufstellung der Differentialgleicliung der Druckwelle hullám dí elemi idő alatt d.T = a>-dt utat tesz meg. Ezt az utat választjuk a két függőleges körlappal határolt henger magasságaként. A két lap által határolt henger térfogatát az alapfelületnek és a magasságnak a szorzata szolgáltatja. így, ha a térfogatot r-val és a henger felületét F-fel jelöljük dr= F-co-dt (2) Mivel a mechanika differenciálegyenleteinek felállításánál úgyszólván minden esetben az egyenlet bal oldalán a Newton-féle II. axióma által definiált erőfogalom áll, melynek értelmében az erő a tömeg és a gyorsulás szorzata, máris felírhatjuk első differenciálegyenletünket, ha ezt az erőt az elemi hengerre ható nyomóerővel tesszük egyenlővé. Ez