Hidrológiai Közlöny 1971 (51. évfolyam)

6. szám - Oelberg G.–dr. Winter J.: Megjegyzések a Gamma 3 és Pearson III. eloszlásfüggvényekre vonatkozóan

262 Hidrológiai Közlöny 1971. 6. sz. Oetberg G.—dr. Winter J.: A Gamma 3 és Pearson III. eloszlásfüggvények sorokra szerkesztett eloszlásfüggvények közös alapon hasonlíthatók össze. A (7) összefüggés alapján az eddigi Gamma 3 táblázatból [5] előállítottuk a (8) összefüggésnek megfelelő x'

t értékek táblázatát. Ezen táblázat értékei a k függvényében kevésbé változnak az eredeti táblázaténál, így a lineáris interpolálással is kisebb hibát követünk el. Megjegyezzük, hogy táblázatunk adatait olyan koordinátarendszerre számítottuk, melynél a valószínűségi változó az origótól jobbra nő, a valószínűségnek a 100%-os értéke van az origóban — vagyis a nagy értékek kis %-os valószínűségűek. A koordinátarendszer más felvétele esetén az x'

t értékek a közölt táblázatnak a megváltozott tengelynek megfelelő megfordításával állíthatók elő. c

4<0 (Af

3<^0) esetén a szokásos módon járunk el. 2. A Pearson III. eloszlásfüggvény átalakítása A Pearson III. eloszlásfüggvény számításra alkalmas egyszerű alakja [1, 4]: x

p = x(0c

v + 1). 0 — Foster tényező (táblázatból vagy grafikonból): 0=f(p, c,), rv< c» — variációs és aszimmetria-tényező: a M~ A két sor összevetéséből: Cv — -=•', Cj — x M

2o (10) A fenti kifejezést átalakítva: x

p = x(0c

v + 1) = X0C

v + x, 4 2 k = —r-, illetve r

8 = CS fk (12) Az x

t táblázatot összehasonlítva a Pearson III. függvény táblázataival (Foster—Eibkin), szembetűnő az azonosság. A függvények valószínűségi, x — koordinátarendszerben ábrázolva szintén ugyanazt mutatják. A (12) kifejezéssel a Pearson III. és az átalakított Gamma 3 függvény paraméterei egymásba átszámíthatók, így a táblázatok egyes sorai és ábrázolás segítségével a két függvény teljes egyezése is kimutatható. Pl. c„=2-nek megfelel k— 1, c,= l-nek megfelel k=4. (A (12) összefüggések felhasználásával), és valóban, a Pearson III. függvény táblázatának c„=z 1 sora teljesen megyezik az átalakított Gamma 3 táblázat (x'

t) k=4 sorával. Állításunk igazolására végeztünk néhány számítógépes vizsgálatot is különböző adatsorokra. A két függvény alapján kiszámított különböző valószínűségű értékek csaknem teljesen megegyeztek. A kis eltérés oka az, hogy a függvények táblázataiban közölt számok kisebb pontosságúak, mint a gép számítási pontossága. 4. összefoglalás összefoglalva a három eloszlásfüggvény gyakorlati számításokhoz használt átalakított kifejezéseit: r„ = -=- behelyettesítésével: x

p = x + x& ~ = x + a0. x A 0 értékét táblázatból vesszük, tehát felírható, hogy 0 = x'

t', vagyis OCp — X -f- CfX^ y (11) ami teljesen egyező alakú a Normál eloszlásfüggvény kifejezésével, valamint a Gamma 3 eloszlásfüggvény átalakításával kapott (8) összefüggéssel. 3. A Gamma 3 és Pearson III. függvények közötti kapcsolat Az (5) és (10) összefüggések felhasználásával a kétféle módon felírt eloszlásfüggvény paraméterei között az alábbi kapcsolat határozható meg: H - 2o

3 . M

s l

2 4 o

6 1 - Ml CM

2 a

3 1 m

3 M

3' c.

2 Normál Gamma 3 Pearson III. x = x + ax, . v i x —x+ax' v t x =~x + ox''. v t Előző megállapításainkból következik, hogy: valamint x'

t" = x' = x'

t'\ ha k—oo, illetve c

8= 0. így tehát a három eloszlásfüggvény közös alakra hozható: x

p = x+ axt Ml Végeredményben a (12) összefüggés felhasználásával olyan táblázat készítése vált lehetségessé, mely az eloszlásfüggvény mindkét felírási módja (Pearson III. és Gamma 3) szerinti számítást lehetővé teszi és a Normál eloszlásfüggvény is előállítható belőle (mint a Pearson III, ill. Gamma 3 eloszlásfüggvény határhelyzete). A k, ill. c, egyes lépcsőit úgy határoztuk meg, hogy az interpolálás elhagyása minél kisebb hibát okozzon, de a túlzott részletesség ne menjen az áttekinthetőség rovására.