Hidrológiai Közlöny 1970 (50. évfolyam)
4. szám - Szalay Miklós: A léghőmérséklet és talajvízállás közti összefüggés matematikai elemzése
\ 148 Hidrológiai Közlöny 1970. 3. sz. A léghőmérséklet és talaj vízállás közti összefüggés matematikai elemzése S Z A L A Y MIKLÓS* A tanulmány egy, Németh Endre professzor [1] által felfedezett empirikus összefüggést kíván szabatos matematikai vizsgálat útján tisztázni. Az említett összefüggés azt mondja ki, hogy ha a H talajvízállás és a T léghőmérséklet összetartozó havi átlagértékeit egy derékszögű (H, T) koordináta-rendszerben felrakjuk, az így nyert pontok jó közelítéssel egy 45°-kal elfordított tengelyű ellipszis mentén fekszenek. Ezt az összefüggést később többen is vizsgálták és vele kapcsolatban néhány geometriailag téves megállapítást is tettek. Célunk a kérdés tisztázása és a tévedések eloszlatása. Tapasztalati tény, hogy mind a talajvízállás, mind a léghőmérséklet a Föld forgásának következtében éves periodikus változást mutat és sokévi átlagban ingadozásuk jól megközelíthető egy-egy sinusgörbével, amelyek periódusa egy év. A matematikai vizsgálat egyszerűsítése érdekében célszerű a H = H(t) és T = T(t) átlagos menetgörbéket úgy redukálni, hogy időtengelyüket a //, illetve T sokévi középértékeken fektetjük át, amplitúdójukat egységnyinek választjuk, az időléjjtéket pedig úgy választjuk meg, hogy 1 év 2rínék feleljen meg. Ezeknek a vizsgálat lényegét nem érintő formai egyszerűsítéseknek a bevezetése utána két menetgörbe egyenlete: 77 = sin t T= sin (t + y) (la) (lb) ahol (/i a hőmérsékleti menetgörbe fázisszöge a talajvízállás menetgörbéjéhez képest (I. ábra). A 1 idő-paramétert az egyenletekből kiküszöbölve, a T = H cos cp +1 1 — H 2 sin <p (2) összefüggést kapjuk. 1. ábra. A napi T léghőmérséklet és a napi H talajvízállás sokévi átlaga menet görbéinek redukált alakja Abb. 1. Reduzierte Form der durchschnittlichen Ganglinien für tagliche Lufttemperatur T und Grundwasserstand H Fig. I. Reduced annual curves of average daily air temperature T and ground-water level H * Budapesti Műszaki Egyetem Vízépítési Tanszéke, Budapest. Transzformáljuk a (2) egyenletet célszerűségi okokból egy olyan (x, y) koordináta rendszere, amely a (H, T) rendszerrel 45°-os szöget zár be. Az erre a célra használt transzformációs összefüggések : H = (3a) 2 1/ 2 rr = X±l 91/2 (3b) Ezeket az értékeket a (2) egyenletbe helyettesítve kapjuk: = cos (p + sin cp-yi 1l 2(x-y) 2 (4) Négyzetreemelés, ismételt átrendezések ós ismert trigonometriai összefüggések alkalmazása után levezethető az alábbi egyenlet: sin 2 <p 1 - cos q sin 2 <p 1 + cos cp -= 1. (5) Erről azonnal látható, hogy egy ellipszis egyenlete, amelynek tengelyei az (x, y) tengelyeken fekszenek, függetlenül a <p fázisszög tényleges értékétől. így máris megtehetjük azt a megállapítást, hogy a H = H(T) ellipszis tengelyei a H és T koordinátatengelyekkel szükségképpen 45°-os szöget zárnak be. Ha elmúlasztjuk a //, T és t változóknak a fentebb vázolt dimenziónélküli alakra redukálását, akkor — a választott magassági, hőmérsékleti és időléptéknek megfelelően — 45°-tól eltérő ferdeségű ellipszisek is előállíthatók, azonban az ilyen önkényes ábrázolásmód nem jogosít fel semmiféle, a tengelyek hajlásszögével kapcsolatos fizikai következtetésekre. Végrehajtott redukció esetén viszont geometriai és fizikai abszurdummal egyenlő a 45°-tól eltérő tengelvhajlás lehetőségének feltételezése. I. táblázat Fázisszög abfok nap tengely hossza 0 0 1,414 0 000 30 30,5 1,370 0,366 <>0 61,0 1,225 0,707 90 91,5 1,000 1,000 120 122,0 0,707 1,225 150 152,5 0,366 1,370 180 182,5 0,000 1,414 Megjegyzés x-iiányú egyenessé torzult ellipszis, teljes fázisegyezés Nagy tengely az ar-irányban Nagy tengely az avirányban Egységkör, negyed fáziseltolás Nagy tengely az ^/-irányban Nagy tengely az ^/-irányban y-irányú egyenessé torzult ellipszis, félfázisnyi késés
