Hidrológiai Közlöny 1969 (49. évfolyam)

7. szám - Dr. Zsuff István: A stochasztikus folyamatok elméletének alkalmazása a hidrológiában, hidrológiai folyamatok elmélete

Hidrológia a területi vízgazdálkodás gyakorlatában I. Hidrológiai Közlöny 1969. 7. sz. 315 0 100 200 300 Szükség** .'írozólér, s [I0

emy 1. ábra. A Villányi szelvény távozási diagramja írjunk fel egy általunk vizsgált „kedvező" eseményt, k nap közül n csapadékos napnak megfelelő idősort: jelöljük a-val a csapadékos, ö-vel a csapadékmentes nap számát. Az 12 3 n 1 2 3 k—» a-a-a.. .a-b-b-b... b (6) észlelési idősor nyilván megfelel a feltételnek. Ilyen észlelési idősor előfordulási valószínűsége — a függetlenség feltétele esetén nyilván 12 3 n 12 3 » p-p-p. . .p-q-q-q. . . q =p

nq

k~

n (7) ahol p a csapadék előfordulási valószínűsége, 7=(1— p), a csapadékmentesség előfordulási valószínűsége. A felírt összefüggés csak az egyik csapadékidősorra érvényes, amely a feltételünket kielégíti, de ugyanennek a feltételnek eleget tesz minden olyan másik idősor, amelyben n csapadékos nap van, csak más sorrendben. Az ilyen különböző sorrendek száma: ^j. A keresett valószínűség tehát .p»qk - * (8) Ezt az eloszlásfüggvényt, amely tehát azt mutatja, hogy egy p előfordulási valószínűségű egyedi eseménynek k alkalom közül ra-szeri előfordulásának mi a valószínűsége, binomiális eloszlásnak nevezzük. A binomiális eloszláshóz hasonló elveken épül fel a geometriai eloszlás, amely annak leírására alkalmas, hogy a p valószínűségű esemény első jelentkezése éppen k időegység eltelte után történik. A hidrológiai események előfordulási valószínűségének reciprokaként értelmezhető átlagos visszatérési idő részletesebb vizsgálatára — a megfelelő konfidencia intervallumok megadására — használta a geometriai eloszlást Szigyártó Zoltán ós ,J. Bernier, egymástól függetlenül [1, 16]. A binomiális eloszlásnál k kötetlen. Növeljük ezt a k értéket. Ez történhet pl. úgy, hogy az időegységet nem napnak, hanem órának választjuk. Nyilván most p* annak a valószínűsége, hogy egy adott órában van csapadék, és ez kisebb, mint annak a valószínűsége, hogy egy nap csapadékos-e. Fizikailag tehát vaslószínűsíthető az, hogy a k értéket úgy növeljük, hogy az kp—). érték konstans maradjon. Könnyű belátni, illetve levezetni, hogy ebben az esetben: lim p(

n.

k) = Hm (?) p

nq

k~e~

x (9) kp—a k\ hatr>~ Számszerűen az is kimutatható, hogy kellően nagy, de még véges k és kellően kicsi, de még véges p esetén is a fent felírt Poisson eloszlással a binomiális eloszlás 1—2% pontossággal megközelíthető. Bizonyítható még, hogy a Poisson eloszlást követő folyamatot reprezentáló eseménysorozatban, pl. a csapadékok sorozatában két szomszédos eseményt elválasztó időszakok eloszlásfüggvénye exponenciális jellegű. X í(x) = -p{t^x)=l-e (10) ahol <

0=M(<) , cizciz az egymást elválasztó csapadékmentes időszakok várható értéke, amely a statisztikai minta alapján az időszakok számtani átlagával becsülhető [15]. A hidrológiai folyamatoknak a stochasztikus folyamatok elméletének függvényeivel való leírása a fenti két eloszlásfüggvényen, a jelenségek számát leíró binomiális eloszláson, ill. Poisson folyamaton és a két szomszédos esemény közötti időszakok hosszát leíró exponenciális eloszlásfüggvényen alapszik.