Hidrológiai Közlöny 1969 (49. évfolyam)
7. szám - Dr. Zsuff István: A stochasztikus folyamatok elméletének alkalmazása a hidrológiában, hidrológiai folyamatok elmélete
Hidrológia a területi vízgazdálkodás gyakorlatában I. Hidrológiai Közlöny 1969. 7. sz. 313 színűsóget nem egyetlen számmal, hanem megbízhatósággal jellemzett intervallummal adja meg. Az intervallumok nagysága, a megbízhatóság mérőszáma, függ a választott minta nagyságától, reprezentativitásától [20], A hidrológiai statisztikát tehát elsősorban korlátozott nagyságú (többnyire igen kicsi) és nem jeltétlenül reprezentatív, meg nem ismételhető statisztikai minta jellemzi. A vízgazdálkodási gyakorlat fejlődése során újabb és újabb hidrológiai mutatók bevezetésére került sor. Ma már a vízgazdálkodást nem csak a tetőző vízhozamok, a legkisebb vizek értékei érdeklik, hanem a töltéseket áztató árhullámok hossza, a tározós árvízcsökkentés szempontjából mértékadó árhullám alapja, a hasznosítható vízhozamok időtartama stb. is igen fontos tényező. Ezek, tehát a jelenség időbeni alakulását mutató idősorok, maguk is valószínűségi változóknak tekinthetők. Tehát az alapjelenséget, valamely vízfolyás vízhozamait, teljes egészében, az időben végbemenő „folyamat jellegével" együtt kell jellemezni. Végeredményben tehát rövid, egyetlen, meg nem ismételhető észlelési adatsor áll rendelkezésünkre és ennek az adatsornak időbeni változását leíró Q(t) függvénynek előfordulási valószínűségét is jellemezni kell. A kijelölt feladat megoldásával a valószínűségelméletből kifejlődött, és a matematikai statisztikától már elkülönült és külön tudományágként kezelt, „stochasztikus folyamatok elmélete" foglalkozik. Prékopa András: „Valószínűségelmélet" című könyve alapján a stochasztikus folyamatokat a következőképpen definiálhatjuk [14]: Stochasztikus folyamatokon bizonyos valószínűségi változók (például vízhozamok) egyparaméteres sokaságát értjük, ahol t paraméter a T — általában időpont — halmazon fut keresztül. Minden Q=Q(t) vízhozamidősor, egy függvény az elemi események, a vízhozamok halmazán. Ha a Q (t, C) lényegében kétváltozós (t és C) függvény í változóját rögzítjük, és t befutja a T időponthalmazt, akkor egy valós függvényt kapunk, amelyet a stochasztikus folyamat egy megvalósulásának nevezünk. Egy megvalósulás a folyamat egy konkrét lefutását, vízhozamidősort jellemez. Nézzük a vízhozamok alakulását, amelyet az észlelési időszak T időpont halmazán vizsgálunk. Az Q statisztikai sokaság mindazon függvények halmaza, amelyek előfordulhatnak e T időszakban. (Vízhozamok esetén tehát csak pozitív, folytonos függvények halmaza.) A Q (t) függvény egyik lehetséges eseménye, (amelynek előfordulási valószínűségét vizsgáljuk), egy co függvényhalmaz, _Q-nak egy részhalmaza. (Egyetlen függvénynek mint lehetséges eseménynek előfordulási valószínűsége nyilván 0, mint ahogy egyetlen, folytonos, skalár valószínűségi változó pl. egyetlen vízhozam értékének bekövetkezési valószínűsége is 0.) E részhalmaz lehet azon függvények összessége, amelyek T időszak valamely t időpontjában a-nál nagyobb, de 6-nél kisebb értéket vesznek föl. Ehhez a halmazhoz rendelt valószínűség megadja annak a valószínűségét, hogy a folyamat lefutása a t időpontban a és b közötti értéken történjék. Megjegyezzük még, hogy a fent definiált függvényeket általában valószínűségi függvényeknek nevezik, és csak akkor beszélünk stochasztikus folyamatokról, ha e függvények időben lejátszódó folyamatokat reprezentálnak. A vízhozam-idősorok vizsgálatánál a múltbeli időszakban észlelt egyetlen függvény lefutása alapján kell a jövő t 0 <7 időszakában értelmezett lehetséges függvény-események előfordulási valószínűségét becsülni. Ez fölveti az ergodicitás matematikai statisztikai fogalmának kérdését, amelyet leegyszerűsítve úgy reprezentálhatunk, hogy a múltban (vagy a múlt egy vagy több meghatározott időszakában) a lehetséges eseményekhez tartozó statisztikai paraméterekből a jövő, vagy a jövő egyes részidőszakához tartozó lehetséges események valószínűsége becsülhető. A többnyire egyetlen, múltban lezajlott esemény (észlelési idősor) tanulmányozására szükségszerűen korlátozódó hidrológiában a vízjárás folyamatát ergodikusnak kell, hogy tekintsük. Ez az ergodicitás azonban a tapasztalat alapján közvetlenül is belátható. Gyakorlati nyelvre fordítva a hidrológiai statisztika, akár a köznapi, akár a matematikai statisztika eszközeivel az egyes paraméterek előfordulási valószínűségét az időtől függetlenül vizsgálja. Ha az időtényezőt bármilyen vonatkozásban figyelembe kell venni, akkor a stochasztikus folyamatok elméletét kell igénybe venni. Az F M(x 1 x., t 2. . . x u t H) n-dimenziós valószínűségi eloszlást a stochasztikus függvény időbeni eloszlásfüggvényének nevezzük [5], 1.2. A vízjárás folyamatának, mint stochasztikus folyamatnak a leírása A Q (t) vízhozam-idősort jellemző stochasztikus folyamatot leírhatjuk a bevezetőben ismertetett cp[ £(í)jCi)] speciális valószínűségi függvénnyel, amely minden co lehetséges eseményhez, függvényhalmazhoz, valószínűségi értéket rendel. A stochasztikus folyamatok két legismertebb függvénytípusa, a Poisson folyamatok és a Markov folyamatok egyaránt szerepelnek a hidrológiában. A valószínűségi „mező" fenti módon való rögzítése mellett a Q(t) (vízhozamidősor) stochasztikus folyamat valószínűsége jellemzhető még egyszerű függvénysorra való bontással úgy, hogy a függvénysor együtthatóit skalár valószínűségi változónak tekintjük: tehát Q (t)=a 1.f 1(t) + a 2.f 2(t)+ ... (1) ahol a v « 2> • • • sorra <p 2{a). . . valószínűségi eloszlásfüggvényekkel jellemezhető valószínűségi változó [10]. 2. A hidrológiának a stochasztikus folyamatok elméletével vizsgált gyakorlati feladatai 2.1. Hosszú-idejű előrejelzések A stochasztikus folyamatok elméletében a valószínűségi folyamatok leírására alkalmazott, az előző pontban bemutatott, két módszer közül a második a hidrológiában már régebben ismert. Az elmúlt
