Hidrológiai Közlöny 1969 (49. évfolyam)

7. szám - Dr. Zsuff István: A stochasztikus folyamatok elméletének alkalmazása a hidrológiában, hidrológiai folyamatok elmélete

314 Hidrológiai Közlöny 1969. 7. sz. Hidrológia a területi vízgazdálkodás gyakorlatában I. észlelési időszak idősorának trigonometrikus függvénysorra való bontásával többen kísérleteztek. Ezeknek a próbálkozásoknak a során azonban a nyilvánvalóan hibás determinisztikus szemlélettel kezelték a jellegzetesen stoehasztikus folyamatot. A legtöbb, e témával foglalkozó, hidrológus legföljebb addig jutott el, hogy az idősort, a folyamatot, egy egyirányú változásra (trendre), egy, vagy több jellegzetes periodikus összetevőre és maradék (véletlen ingadozást mutató) reziduumra igyekezett felbontani. A trend és a periódusok jövőre való érvényességét feltételezve próbálkoztak előrejelzések kiadásával, és az előrejelzett érték várható hibahatárát a reziduum figyelembevételével becsülték. Más kutatók, sok esetben kifejezetten csak számítástechnikai jellegű matematikai problémák miatt, teljes mértékben tagadták e vizsgálatok jelentőségét. A stoehasztikus folyamatok elméletének lineáris szűrői, mind a felbontás egyértelműségének kérdésében, mind a jövőre való extrapoláció valószínűségi értékkel jellemzett eljárási módjában, az egyértelmű választ megadják. Werner Kresser professzor 1961-ben készült tanulmánya, majd 1963-ban a Dunára végzett vizsgálatai már stoehasztikus elemeket is tartalmaznak. A véletlen számokból kialakított „folymatokkal" való összehasonlítás eszközeként kezelt ,,expektancia" meghatározásának hangsúlyozásával jelentős lépést tett a függvénysor egyes tagjainak valószínűségi változóként való kezelésére. 1963-ban a Grazi Előrejelzési Kongresszuson nyilvánosságra hozott, rendkívüli óvatossággal megfogalmazott, de véleményünk szerint egyértelmű, Dunára vonatkozó előrejelzésében az 1965-ös vízbő vízjárására a figyelmet két évvel korábban felhívta [11, 12]. A vizsgálatokhoz nyilván hosszúidejű észlelési adatsorra van szükség. Hazai viszonyok között ilyenre legföljebb a Duna esetében számíthatunk. A bécsi sikeres és korszerű, elméletileg jól megalapozott vizsgálatok az ilyen irányú hazai kutatómunka alól felmentettek bennünket. 2.2. Tározómedencék méretezése A tározómedencék hidrológiai méretezése a stoehasztikus folyamatok elmélete eredményeinek klasszikus alkalmazási területe. Nem csak azért, mert a mindössze 10 éve megjelent alapvető munka ma már minden ország hidrológusai előtt ismert és használt, hanem azért is, mert maguknak a matematikusoknak is e problémakör egyik sokat idézett példája lett. A tározók vízháztartásának folyamata pontosan megadható határok között ugyanis erőltetés nélkül felépíthető Markov láncokból összeállított matematikai modellel. A vízhasznosítási célokat szolgáló tározók méretezésénél a feladat a V=f(Q) (2) összefüggés, clZciZ <\j V kiépítendő tározótérfogat és a kiszolgáltatandó Q vízhozam közötti kapcsolat meghatározása. A (2) kapcsolatot a múlt vízháztartási adatainak az elemzéséből határozták meg úgy, hogy az észlelési időszakban a kívánt vízhozamot a tározó éppen kiszolgáltatta volna. A méretezés eredményeként adódó (2) összefüggést ábrázoló görbét Schaffernak és Mosonyi tározási jelleggörbének nevezte. A számítás alapjául szolgáló észlelt természetes vízhozamok valószínűségi változó jellege közismert. Így természetes, hogy a tározótérfogat nagysága és a belőle kiszolgáltatható Q vízhozam maga is valószínűségi változó. A feladat tehát a V

l=f(Q, p) (3) összefüggés meghatározása, ahol p annak a valószínűsége, hogy a V tározótérfogatt al Q vagy annál kisebb vízhozamok kiszolgáltathatók. A (3) összefüggés megadására Krickij és Menkelj tett kísérletet nehézkes matematikai statisztikai eszközökkel. 1958-ban Pitskás Tamással kíséreltük meg az észlelési adatsor egyszerű statisztikai elemzésével az észlelési időszakra vonatkozó V=f(Q, r) (4) összefüggés meghatározását, ahol r a vizsgált időszakra vonatkozó gyakoriság [21]. A probléma megoldását Moran 1958-ban megjelent könyve adta meg, a Markov láncok számítástechnikájának alkalmazásával. Ennek első hazai alkalmazására 1960-ban került sor, és Prékopa András idézett munkájában az eljárás lényegét bemutatta [13, 14], A vizsgálatot éves adatokra vonatkoztatjuk, és így nyilvánvalóan csak több éves kiegvenlítésű tározók méretezésére alkalmas a módszer. (Éves tározók, ill. évszakos kiegyenlítésű tározómedencéknek a valószínűségelmélet alapján történő méretezésére Török Lászlóval tettünk kísérletet [19], A Markov láncokkal történő tározó méretezés nem csak a vízhasznosítási tározók méretezési problémáit oldja meg, hanem a komplex üzem tervezésére is alkalmas. Kiszámítható a különböző tározó teltségek előfordulási valószínűsége és ezáltal a vízhasznosítási céllal épülő tározó árvízcsökkentő hatása. Az ilyen komplex méretezési feladat csak számítógéppel oldható meg. A Markov láncok elméletében szereplő átmenetvalószínűségi mátrixok tulajdonságait kihasználva azonban a több ezer (!) ismeretlenes egyenletrendszer sorozat gyorsan megoldható. A számítás 10—12 adatból „generálható" blokkokból álló hipermatrixszal felírható, az eredményt a gép ugyancsak hipermatrixban nyomtatja ki (1. ábra). 2.3. A Poisson folyamat alkalmazása a hidrológiában A stoehasztikus folyamatok legnagyobb részének jellemzésére a Poisson folyamat jól felhasználható. A csapadékkal kapcsolatban például azt a kérdést tehetjük fel, hogy mi annak a valószínűsége, hogy k nap alatt (hónap esetén 30, 31 nap alatt) éppen n csapadékos nap legyen. Tételezzük fel, hogy annak a valószínűsége, hogy egyetlen nap van csapadék: p és ezt az értéket ismerjük is. Tételezzük fel, hogy az egymást követő napokban a csapadékok jelentkezése egymástól független. Jelöljük 7-val annak a valószínűségét, hogy valamely nap nincs csapadék. Nyilván q=l-p. (5)