Hidrológiai Közlöny 1969 (49. évfolyam)
7. szám - Dr. Vágás István: Az önszabályozás szemléletének alkalmazása a hidrológiai rendszerek elemzésében
Hidrológia a területi vízgazdálkodás gyakorlatában I. Hidrológiai Közlöny 1969. 7. sz. 311 Ezzel a danaida működésének törvényszerűségeit önszabályozó tulajdonságának figyelembevételével, a szabályozás lépéseit nyomon követve írhattuk le. Szabályozási folyamatok a hidrológiában Mint azt más tanulmányainkban [2, 3] részletesen is tárgyaltuk, a vizek összegyülekezésének vagy a medencékben történő vízáramlásoknak az átfolyás elmélete szerint tárgyalható folyamata is önszabályozó. Az ideális alapesetben (pl. a vízgyűjtő területen állandó csapadék-intenzitás, egymást meg nem előző vízrészecskék feltételezése stb.) valamely rendszer általános, a vízhozamot az idő függvényében kifejező válasz-függvénye (Q v) két, egymáshoz képest a víztápláló behatás T időtartamának megfelelő mértékben eltolt, ún. karakterisztikus (Qb) válasz-függvény különbségéből származtatható: Q v(t)=Q b(t)-Q b(t-T) (15) Ebből az egyenletből a Q v függvény meghatározása a Qb ismeretében egyszerű volna. Gyakran azonban Qr az adott vagy meghatározható, és Qb-1 kell keresnünk. Ennek meghatározása azonban már csak a mátrix-egyenletek felhasználásával történhet teljes általánosságban. Levezethető, hogy a tetszőlegesen választható t időpontban, majd az ehhez képest T időtartam egész számú többszöröseivel eltolt (t — T), (t—2T), ..., [t—(n—l)-T] időpontokban értelmezhető Q v és Qb vízhozam-értékek oszlop-mátrixba foglalható q és b halmaza a q = G«-b (16) mátrix-egyenlettel hozható összefüggésbe, ahol G n olyan n-ed rendű négyzetes mátrix, amely a főátlójában egyeseket, a főátló fölötti, azzal szomszédos mellékátlóban mínusz egyeseket tartalmaz, míg a többi eleme zérus. Az n érték úgy választandó, hogy Qb(t-n-T)=0 legyen. A (16) egyenlet kifejezhető Qb-nek megfelelő b-re is, a G« mátrix G~ 1=H r e reciprok-mátrixnak képzésével: l)=H n -q (17) amelyben H„ a reciprok-számítás szabályai szerint olyan n-ed rendű négyzetes mátrix, amelynek főátlója és a főátló feletti minden eleme egyeseket tartalmaz, további elemei zérusok. A H n mátrix felírható az n-ed rendű E« egységmátrixnak és a főátló ja feletti mindegyik elemében egyeseket (egyébként zérusokat) tartalmazó, szintén n-ed rendű felső-háromszög mátrix összegeként is: 1 1 1 1 11 r 1 0 0 0 0r 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 =zz 0 0 1 0 0 + 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 11 U) o 0 0 l\ .0 0 0 0 o\ azaz H„=E„ + ^ n (18) A (18)-at (16)-ba helyettesíthetjük: q=[E„+^ r e]-i.b (19) A (19) egyenlet lényegében a (4) egyenlettel egyezik meg, és megmutatja, hogy bármely, tulajdonképpen árhullámot jelentő vízhozam-függvény meghatározott értékeinek q halmaza és a karakterisztikus vízhozamfüggvény megfelelő értékeinek 1) halmaza között a mátrix-egyenleti összefüggés olyan önszabályozási kapcsolatot is értelmez, amelynek szabályozási transzformációját (R) a —mátrix által jelképezett utasítás-rendszer biztosítja. Az önszabályozás egyes lépéseire most a (19) egyenletben rögzített általános esetből következtethetünk. Tekintve, hogy az (E n-f x^i)1 kifejezés tulajdonképpen mértani haladvány-összeg, és tekintve, hogy az ra-ed rendű mátrix ?i-edik és annál magasabb kitevőjű hatványai zérus-mátrixot eredményeznek, felírható: [E„+ t,„]-I=E,- ^l- . (20) ahol az n index lényeges vonása, hogy az önszabályozás lépéseinek megfelelően 1, 2, 3. . .i.. .n értékeket vehet fel, és ebbe az értelmezésbe az összes előző ""q felírás is beleértendő. Az önszabályozás kezdeti feltétele: •q (o )=E~ 1-b=b, és itt még értelmezhetetlen. Az önszabályozás első lépésében: A második lépésben: q(2)=b — ^ q(i)=b — b-f -<q 2 b=G 3 b (21) Általánosságban: q=G«-b, tehát az önszabályozási lépcsők segítségével is a (16) egyenlethez jutunk. Bővítsük ki vizsgálatainkat a csapadék-összegyíilekezés és lefolyás általános eseteire is, amelynél figyelembe vesszük a csapadékból keletkező lefolyások intenzitásának idő-függvényében értelmezett változását. A csapadék mérhető vízoszlopértékeiből a lefolyást jellemző vízoszlop értékeket a vonatkozó lefolyási tényezővel való szorzással számíthatnánk. Jelen esetben e számítás problémakörével nem kívánunk foglalkozni, és úgy tekintjük, hogy a lefolyási vízoszlop értékek időfüggvénye ismeretes. Természetesen, a mérhetőség lehetőségeinek megfelelően az l lefolyás értékei is bizonyos At időközökben állandónak tekinthetők. A vízgyűjtő területről a tetszőlegesen kiválasztható ti időpontban összegyülekező Q v vízhozam a Duhamel-féle integrálegyenletből határozható meg: ti Q v( t i)= f .Q b(t)-út (22) .1 d t o Ebben az egyenletben a vízgyűjtő-karakterisztika Qb vízhozamait a lefolyás változások értékével súlyoztuk. A Duhamel-féle integrálegyenlet véges At felvétele mellett mátrix-egyenlettel válik egyenértékűvé [3]: qi=GiLibi (23) Kiírva, és ebben L értelmezését is megadva: qí ~1 —1 0. .0 0~ qi-i 0 1 —1. .0 0 qi_2 0 0 1. .0 0 <12 0 0 0. .1 —1 _<1, _ _0 0 0. .0 1_
