Hidrológiai Közlöny 1969 (49. évfolyam)
6. szám - Dr. Vágás István: Az árhullám elemzés átfolyáselméleti módszerei
250 Hidrológiai Közlöny 1969. 6. sz. Dr. Vágás 1.: Az árhullám elemzés A q és 1 oszlop-mátrixoknak, valamint az U négyzetes mátrixnak képzésével: q=U 1 (11) Az U mátrix elemeit azonban — (2)-re és (7)-re tekintettel — nemcsak u, hanem b kifejezéseivel is felírhatjuk, tehát az idealizált egység-árhullámot az idealizált egység-karakterisztika segítségével is megadhatjuk. Az u-t tartalmazó kifejezések helyett tehát a vonatkozó b kifejezések különbségi értéke kerül a négyzetes mátrixba: li Pl \ Qi-1 0 K li- 2 0 0 ?2 0 0 Jl 1 _ _0 0 K o 0 bi- 2 k bi_ x bi _ 2 — bi —3 bi- íbi2 li-1 bi- 3bi- 4 bi2bi- 3 li- g h h h 0 Jl _ (12) Figyelemmel a 3. példában közöltekre, észrevehetjük, hogy az U mátrix a G B szorzat-mátrixa, tehát az összetett árhullám, az egység-karakterisztika ismeretében, a belőle képzett 11 mátrix segítségével, a lefolyási vízoszlop-magasságokból az alábbi mátrix-egyenlettel határozható meg: q=GBl (13) Kz az egyenlet invertálliató, s akkor az összetett árhullámból a lefolyási vízoszlop-magasságokra következtethetünk az alábbiak szerint: l=U" 1-q=B1-H-q=H-B-i-q (14) A G és B mátrixok 3. példában említett felcserélhetősége ugyanis reciprokaikra is érvényesíthető. Az U1 alakban invertált mátrix képzése rendszerint egyszerűbb, a II B _ 1 mátrix-képzésnek viszont a kiszámításra nem kerülő esetek elméleti következéseinek vizsgálatában lehet jelentősége. Az összetett árhullám nemcsak a csapadék lefolyásra kerülő részének meghatározására alkalmas, hanem a gyakorlati esetek többségében a csapadék viszonyoknak legalább közelítő ismeretében az idealizáltan értelmezett egység-karakterisztika meghatározására használható fel a legelőnyösebben. Ehhez a (9), illetve a (10) egyenlet szolgáltat szintén kiindulást. A négyzetes mátrixot ezúttal az l értékeiből képezzük, a jobb oldali oszlop-mátrixot viszont az u értékek helyén itt is szerepeltetett b értékek alkotják. Rámutatunk, hogy ennek lehetősége a b és l kifejezések bizonyos vonatkozási! dualitására mutat a q mennyiségeivel kapcsolatban. A (10) egyenlet felső sorának átrendezésével: qi=li • (bi -bi_ 1) + l 2- (bi - bi _ 2) + + l 3-(bi_ 2-bi_ 3)+ . .. +li1-(b 2 — b 1) + li-b 1— = l l-bi+(l 2-l 1)-bi_ 1+(l 3-l 2)-b i_ 2+ . . . . .. +(U1-lii)-b 2 + (h-li_ 1)-b 1 (15) Ebből: qi pl l 2—l\ ^3 ^2 ' • li li— 2 k ~ h-r ~bi H-1 0 h l 2—l x. .li— 2 — li- 3 ti—l — li— 2 bi w- 2 0 0 h • • li— 3~ li —4 li- 3 bi-2 <72 0 0 0 •h h-h bí' J/l _ _0 0 0 .0 h Ji _ Bevezetve a (IG) egyenlet négyzetes mátrixának jelölésére a W betűt: q=W b=G L b (17) A 3. példa nyomán egyébként W helyett is írható a G -L mátrix-szorzat, ahol az L mátrix a B mátrixhoz hasonló, azzal a különbséggel, hogy a változatlan indexelés mellett a b kifejezésű elemek helyett l elemek szerepelnek benne. Inverz alakban: b=W1q=L1Bq=HL-iq (18) Ez utóbbi mátrix-egyenlettel határozhatjuk meg az árhullám és a csapadékeloszlás ismeretében az egység-karakterisztikát. Az L1 és II mátrixok a G és L felcserélhetősége miatt voltak felcserélhetők, hasonlóan a (14) esetéhez. A (14) és (18) egyenletek alkalmazását néhány egyszerűsített esetre vonatkoztatott példán úgy mutatjuk be, hogy a b és l betűkifejezésekből az előzőkben alkotott mátrixainak q mátrixra vonatkozó dualitására is utalhassunk. 4. példa Vizsgáljuk az egység-karakterisztikát állandó vízhozamú szakaszán. Itt b 1 = b 2= . . . =bi. Az U mátrix (12) egyenlet szerinti alakjában a 6-különbségeket tartalmazó mellékátló-elemek zérusok, a főátló elemei pedig egységesen 6, értékűek. így: U = 6, • E és U-' = — E. Duális esetben: Legyenek a lefolyást jellemző vízoszlop-magasságok értékei a vizsgált időszakban állandóak, tehát Z, = / 2= . . . = li. Ennek megfelelően a (16) egyenlet szerinti W mátrix mellékátlóiban itt is zérusok állnak, a főátlóban pedig egységesen Z rek. Így: W = Z,E ós W-» = — E. h A (14) alapján:
