Hidrológiai Közlöny 1969 (49. évfolyam)

6. szám - Dr. Vágás István: Az árhullám elemzés átfolyáselméleti módszerei

Dr. Vágás 1.: Az árhullám elemzés Hidrológiai Közlöny 1969. 6. sz. 249 egymásnak megfelelő helyen álló elemek mindegyikének egyenlősége. A mátrixok összeadása ós kivonása az egymásnak megfelelő elemek összeadásával, ill. kivonásával történik. A mátrixot számmal is szorozhatjuk, az elemek mindegyikének megszorzása útján. Mátrixok mátrixszál szorzása csak akkor értelmezhető művelet, ha a bal oldali szorzó-mátrix oszlopainak száma megegyezik a jobb oldali szorzó-mátrix sorainak számával. Ez azt is mutatja, hogy aszorzásban résztvevő mátrixok sorrendje nem cserélhető fel, viszont arra is utal, hogy az azonos rendű négyzetes mátrixok egymással mindig szorozhatok — bár továbbra sem cserélhetők fel az eredmény megváltozása nélkül. A szorzat-mátrixok tetszőleges, i-edik sorában és j-edik oszlopában álló elemét úgy számíthatjuk ki, hogy a bal oldali szorzómátrix i-edik sorának elemeit külön-külön, sorrendjük szerint haladva, megszorozzuk a jobb oldali szorzó-mátrix J-edik oszlopának sorrendben megfelelő elemeivel, majd a kapott szorzat-értékeket összegezzük. A hatványozás ismételt szorzással történik. Erre, ós a szorzási szabály bemutatására az alábbi számpéldát közöljük: 1. példa: IP = IIII = 11111 0 1111 0 0 111 0 0 0 1 1 L0 0 0 0 U 1111 0 111 0 0 11 0 0 0 1 .0 0 0 0 1 2 3 4 5" 0 12 3 4 0 0 12 3 0 0 0 1 2 -0 0 0 0 1. A szorzat-mátrix i= 2 sorában és j = 4 oszlopában meghatározott elem számértékeinek kiszámítása pl.: U-l + l-l + l-l + l-l + l-0 = 3, vagyis a bal oldali szorzó-mátrix 2. sorának és a jobb oldali szorzó mátrix 4. oszlopának sorrendben megfelelő elemeit szoroztuk össze, majd a szorzatokat összeadtuk. Lényegében minden további szorzat-mátrix elem számításánál hasonlóan jártunk el. Mátrixok osztása csak közvetett úton, a reciprok, vagy inverz mátrix meghatározása után, az azzal való szorzással lehetséges. Tekintette] kell lenni itt azonban a szorzás fel nem cserélhető voltára ós a mátrix abszolút értékére is, amelynek zérus volta a reciprok-képzést értelmezhetetlenné teszi. A mátrix abszolút értékét négyzetes mátrixoknál értelmezhetjük úgy, hogy a mátrixot determinánsnak tekintjük, s kiszámítjuk a determináns számértékét. A reciprok mátrix képzésénél — négyzetes mátrixok esetén — minden elemhez meg kell határoznunk annak előjelhelyes aldeterminánsát, az aldeterminánsokból képezhető új mátrixot pedig a sorok és oszlopok felcserélésével transzponálnunk kell. A transzponált aldetermináns-értékeknek az abszolút értékkel való osztásával keletkező mátrix a reciprok-mátrix. 2. példa: H

l = ~1 1 1 1 1" -1 "1 —1 0 0 o~~ 0 1 1 1 1 0 1 —1 0 0 0 0 1 1 1 = 0 0 1 —1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 —I _0 0 0 0 1_ _0 0 0 0 1_ = G A II mátrix abszolút értéke ugyanis 1. A vonatkozó és transzponált aldeterminánsok pedig a közölt eredményt adják. Megjegyezzük, hogy a II és G mátrixokhoz hasonló ún. felső háromszög-mátrixoknál — amelyek a főátló alatti elemeikben zérusok — a reciprok-számítás a mátrixokkal adott elsőfokú, több ismeretlenes egyenletrendszer igen egyszerű megoldási esetének hasznosítása útján is lehetséges. A II mátrix egyenletrendszere pl. már a változók szerint szétválasztható alakra utal. 3. példa: Végezzünk el egy, a későbbiekben igen fontos mátrixszorzást : szorozzuk meg a G mátrixot az alábbiakban elemeivel is megadott B mátrixszal. Adott esetben a két szorzó mátrix egyébként felcserélhető. G B = "1 —1 0 0 0~ Pi b

2 b

3 b V 0 1 -1 0 0 0 6, b b

t 0 0 1 —1 0 0 0 b, b 63 0 0 0 1 —1 0 0 0 b b, _0 0 0 0 1_ _0 0 0 0 b'i~l)

l b

2 -&1 &3í>, b -b

3 0 6, b

2b. 6

3~b

2 b4 -63 = 0 0 w b b

3 -6, 0 0 0 b b

2 -61 _0 0 0 0 bt III. Árhullámok általános összetétele Az I. fejezetben levezetett alap-összefüggéseink egyenletes és egységnyi intenzitással lefolyó csapadékokra vonatkoztak. A következőkben — az egység-karakterisztika és egység-árhullám összetételek alapelveinek érvényben hagyásával — áttérünk az általános csapadék-intenzitások hatásának vizsgálatára. Tekintsük a még egyenletesnek tekinthető lefolyási intenzitás időtartamát, jelöljük ezt T-vel, és válasszuk egységül. Megjegyezhetjük, hogy gyakran e vonatkozásban az egynapos egység kielégítő marad, csak a kisebb vízgyűjtők nagyobb záporainak összegyülekezése esetén célszerű kisebb időegységeket (1 óra, 10 perc stb.) választanunk, megfelelő regisztráló berendezés birtokában. A megfelelően megválasztott T időegység mellett meghatározott lefolyási-vízoszlop magasságok legyenek l

v l

2, • lj• Az idealizált egység-árhullám Wj, WÍ_I, Uí 2 • • • u

2, u

1 vízhozam-értékei az l értékekkel súlyozódnak, s az így elvégzett összegezésükből már olyan összetett árhullám keletkezik (jelölése továbbra is: q), amelyben az időben változó intenzitások hatása is figyelembe van véve. Az összetett árhullám tehát a qi=Ui-l

1 + Ui _

l-l

2+Ui_

2-l

3+ . . . egyenlettel határozható meg. A vízhozamokat kifejező mennyiségek melletti, i-t is tartalmazó indexek a vizsgálati időpontot (napot) jellemzik, az Z, lefolyási vízoszlop-magasságok melletti indexek pedig a csapadékhullás időpontjára (napjára) utalnak. A esetek ezúttal is lehetségesek, tekintve, hogy az l értékek sorában az eső elállása után zérusok is lehetnek. A (9) egyenlet az eddig követettek mintájára, az összes i egybefogó jellemzéseként egyenletrendszerré alakítható. Az egyenletrendszert a (9)-ben követett sorrend megfordításával felírva: qi — u

1-li+u

2-li_

1+u

3-li_

2-f . . . +Ui_

1-l

2-\-Ui-l

1 qi-i= u

1-li_

1 + u

2-k_

2+ . .. +UÍ_

2-1

2+UÍ_

1-1

1 qi-2= U

l-li_

2+ . . . +Ui_

3-l

2+Ui_

2-l

1 = 7i = u, L + u

2 u, •h •h (10)