Hidrológiai Közlöny 1969 (49. évfolyam)

3. szám - Szalay Miklós: A lamináris folyadékmozgás sebességeloszlásának relaxációs számítási módszerei

Szalay M.: A lamináris folyadékmozgás Hidrológiai Közlöny 1969. 3. sz. 101 szempontból feltételezték, hogy lamináris mozgás esetén a levegővel való súrlódás hatását nem kell figyelembe venni, amiből a felszínen fellépő csúsztató feszültségre nézve az egyszerű T/=0 határfeltétel érvényesíthető s ez a számításokat igen kényelmessé teszi. A szerző úgy vélte, hogy ennek az elhanyagolásnak jogosultságáról célszerű elméleti úton is meggyőződni, mivel turbulens mozgások esetében a tapasztalat szerint a levegővel való súrlódás a kialakuló sebességeloszlást számottevően befolyásolja. 6. A levegő fékező hatásának vizsgálata A levegő fékező hatásának figyelembevétele érdekében — egyelőre végtelen széles medret alapul véve —feltesszük, hogy abban Couette-típusú áramlás alakul ki, amelynek egyenlete (6. ábra): v

v-- — \hhn Vv L + zh — zh„ z' + h* (10) és amelynek a vízfelszín alatt (h — h

n kuló maximuma: fmax — _ gj h„ Vv mélységben kiala(11) k = Vv VI M« -1/2) gJ v= — A

2(a-1 2)e Vv -1/2 h (14) (15) 6. ábra. A sebességek és csúsztatófeszültségek elvi eloszlása vízben és a vele mozgó levegőben Abb. 6. Oesehwindigkeits- und Sehubspannungsverteilung im Wasser und in der mitgerissenen Luftschicht Fig. 6. Veloeity and shear stress distribution in water and the overlying air gos kinetikus energiatartalmára korlátozni. Ennek megfelelően a víz fajlagos kinetikai energiája: A v index most és a továbbiakban a víz és a vízmozgás fizikai jellemzőire utal, míg l a levegőére. A vízfelszínen a víz és levegő közös sebessége az alábbi lesz: v/= — \hh

m — -J = — h

2(a. — 1/2), (12) Vv 1 2 J Vv ahol a = lim/h. A vízfeletti légtérben olyan sebességeloszlásnak kell kialakulnia, amelynek értéke a z = 0 helyen vi = Vf, míg ha z tart a —-hez, akkor vi tart a zérushoz. Ezt a követelményt kielégíti minden vi — v/e

k

z (13) alakú sebességeloszlás tetszőleges k érték mellett. Nekünk azonban meg kell keresnünk azt a k értéket, amely biztosítja a csúsztatófeszültségek eloszlásának folytonosságát is a 2=0 helyén. Felírva a vízfelszínen kialakuló Tf csúsztató feszültség értókét mind a víz, mind a levegő sebessógeloszlásából és ezeket egymással egyenlővé téve azt kapjuk, hogy a csúsztatófeszültség z-menti folytonosságának feltételét a Ekv = Yvb 2 g Z f Vvdz = yvb ( qJ Y ( 1 3 3 —— —a

3 a

2+ —a + — A' (16) { v

v ) (4 10 4 28j Hasonlóképpen a levegőre vonatkozóan: E

ki = Vlb 2 g n—=> / ( g

J p { »v ) t K> rji a-1/2 Vv 1 (17) A (16) és (17) kifejezések egyenlőségéből a-ra az alábbi negyedfokú egyenletet nyerjük: F(a)= 35a

4 — 77a

3 + 147a

2+ (2B - 90)a - (15 + B) (18) amelyben 70 t]iyi B3 VvVv összefüggés jellemzi. Azonos a-értékekhez tartozó víz- és levegőbeli sebességeloszlásokat mutat be a 7. ábra, amely nek többek közt az is érdekes tulajdonsága, hogy a vízfelszínban találkozó sebességeloszlások 2=0 pontbeli érintőinek iránytangensei fordítva aránylanak egymáshoz, mint a két közeg dinamikai viszkozitása. Az eddig bevezetett feltételek azonban nem elégségesek annak a kérdésnek a megválaszolására, hogy a 7. ábrán egyaránt lehetségesként feltüntetett sebességeloszlások közül melyik fog valójában kialakulni. A 7. ábrából nyilvánvaló, hogy a értéktartománya csak 0,5*= a< 1,0 lehet, mert a = 0,5 a végtelen viszkozitás (szilárd) határfelületnek felel meg, míg a= 1,0 a víz feletti ideális (viszkozitásnólkiili) közegnek, Az a-víszonyszám meghatározása során abból indulhatunk ki, hogy dinamikus egyensúlyt feltételezve, a víz b szélességű szelvényének fajlagos energiatartalma azonos kell legyen az ugyancsak b szélességű levegősáv mozgásbahozatalához szükséges energiatartalommal. Azonos h vízmélységek esetén a vizsgálatot elegendő a szelvény fajlaAz egyenletben B értéke függ a hőmérséklettől. Azonos víz- és levegőhőmérsékletet feltételezve, néhány tájékoztató értéke: ' t [°C

] 1 0 20 B | 0,000289 0,000391 0,000508 20°C-os levegő- és vízhőmérsékletet feltételezve, az F(a) függvény értéktáblázata: a F(a) 0,00 —15,000508 = —15 — B 0,40 —33,163 (minimum !) 0,50 —30,687508 0,90 —10,527881 0,99 —3,313097 1,00 +0,000508= +B A függvény értelmezési tartományában egyetlen zérushely van, amelynek interpolálással meghatározott értéke a = 0,99999849. A fentiekből következik, hogy a sebességeloszlás számítása során a függélyek maxiináüs sebességű pontjai a vízfelszínen vehetők fel anélkül, hogy ezzel érzékelhető hibát követnénk el. Ennek következtében a vízfelszín szimmetriatengelynek tekinthető, ami az elektromos modellezést nagy mértékben egyszerűsíti.