Hidrológiai Közlöny 1969 (49. évfolyam)

3. szám - Szalay Miklós: A lamináris folyadékmozgás sebességeloszlásának relaxációs számítási módszerei

98 Hidrológiai Közlöny 1969. 3. sz. Szalay M.: A lamináris folyadékmozgás Ha a négyszögű tartományt, amely a csőkeresztmetszettel azonos, alkalmasan megválasztott Ay, Az oldalhosszúságú négyszögráccsal borítunk be, akkor a (2a) szerint infinitezimális alakban felírt Navier—Stokes-egyenletet egy lineáris egyenletrendszerrel helyettesíthetjük, amely annyi egyenletből áll, ahány belső — tehát nem a tartomány határán fekvő —- csomópontja van a hálózatnak. Az egyes csomópontokra felírható egyenleteket úgy nyerjük, hogy a v(y, z) függvényt az egyes csomópontok környezetében Tavlor-sorba fejtjük, majd a csomópontok közt v lineáris változását feltételezve, áttérünk a Tavlor-sor finit alakjára. Ha P

0 a vizsgált csomópont, amelyet rácsoldalak kötnek össze a szomszédos P

1

; P

2, P

3, P

4 csomópontokkal (1. ábra), akkor a P

0 pontra vonatkozó Taylor-sor véges kifejezése a magasabbrendű deriváltak elhanyagolása után az alábbi lesz: 2v

0_gJ -— (á) (Ay)

2 (Az)* Ha — speciális esetben — a tartományt h= =Ay=Az oldalhosszúságú négyzethálóval tudjuk lefedni, akkor v

1 + v

2 + v

3 + v

i-áv

0 gJ V ulo = " (4) A relaxálás abból áll, hogy pontról pontra haladva v

0 értékét változtatjuk úgy, hogy az kielégítse a szomszédos pontokon felvett v

x. . . v

4 sebességekkel együtt a (3) vagy a (4) egyenletet. Ezt az iterációs közelítést mindaddig kell folytatni, míg valamennyi egyenlet bal oldala megadott hibahatáron belül meg nem közelíti a jobb oldalon adott gJ/v értéket. Ha a tartomány nagyszámú csomópontot tartalmaz — és áramlási szelvények esetében többnyire ez a helyzet —, akkor a táblázatos relaxáció (amelyre nézve az érdeklődő olvasó Bálint Elemér könyvében [4] talál útmutatást), rendkívül hosszadalmas művelet. Az eljárás hosszadalmas voltára való tekintettel felmerül a gondolat, hogy miként lehetne a Navier— Stokes-egyenletet digitális elektronikus számítógéppel megoldani. Erre két lehetőség is kínálkozik. Az egyik a relaxációs technikának számítógépre történő Az dz 1. ábra. Folytonos sebességeloszlás helyettesítése diszkrét rácshálóval Abb. 1. Ersetzung einer kontinuierlichen Geschwindigkeitsverteilung durch diskretes Rechtecksnetz Fig. 1. Substitution of a continuous velocity distrxbution through a discrete rectangular network programozásából áll. Ralf és Wilston [5] közöl algoritmust elliptikus parciális differenciálegyenletek gépi relaxációval történő megoldására, amely esetünkben is alkalmazható. Jelentős megszorítást jelent azonban az a körülmény, hogy a már kidolgozott módszerek csak négyzet- vagy négyszögrácsra alkalmazhatók, márpedig az ilyen rácsok által szabatosan lefedhető alakzatok száma igen korlátozott. Tetszőleges körülhatárolású tartományra érvényes program kidolgozása viszont egyelőre számottevő matematikai nehézségekbe ütközik. Másik megoldási lehetőségként kínálkozik a lineáris egyenletrendszerek megoldására vonatkozó Gauss-Seidel-féle iterációs eljárás, amelynek manuális változatát ugyancsak Bálint [4] ismerteti, digitális számítógépre való alkalmazását pedig Ralston és Wilf [5]. Ez a módszer rugalmasabban tud alkalmazkodni a változatos körülhatárolásokhoz, viszont időtrabló lehet egyes esetekben a gépi számítást megelőzően az egyenletrendszer együttható mátrixának meghatározása. Az iménti meggondolások alapján vetjük fel egy olyan elektromos analógiás számítógép alkalmazásba vételét, amelynek számítási sebessége a táblázatos és a digitális géppel végzett relaxálás között van, igen szemléletes a működése és nagyon rugalmasan tud alkalmazkodni a különböző peremfeltételekhez. 3. Elektromos analógia alkalmazásával történő relaxálás Schneebeli, Huard de la Marre [6], [7], Ling [8], a magyar szakirodalomban pedig Török [9] tesz említést arról az analógiás berendezésről, amely a síkbeli potenciálos folyadékmozgásra felírt Laplacedifferenciálegyenletet közvetlenül megoldja. Mivel a Laplace- és a Navier—Stokes differenciálegyenletek közti különbség mindössze az inhomogén tag hiányában, illetve jelenlétében nyilvánul meg, azért — ezúttal ismét négyzetes rácshálót feltételezve — a (4) egyenlethez hasonlóan felírható a (p potenciálnak a P

0 pont környezetében végzett Taylor-sorba fejtéséből nyerhető, közelítő kifejezése: 1 VVIo= (5) Ha most a potenciálos tartományt borító geometriai rácshálót egy olyan elektromos hálózattal helyettesítjük, amelyben a négyzetháló csomópontjait egymással azonos értékű R ellenállások kötik össze és ha az így előállított hálózaton a peremfeltételeket megfelelő módon biztosítjuk, akkor a P

0 csomópontra és környezetére nézve a Kirchhoff-féle 1. szabály értelmében felírható a csomópontba befolyó áramok algebrai összegének zérus volta: <Pi~<Po ! 0 ( ffa-ff

o , <P*-<Po = 0 " 7

> R (6) R ' R R vagy ezt közös nevezőre hozva _ <Pi+Vi+rs+ri-ÍT

o _ R Azonnal szembetűnik az (5) és (7) egyenletek formai hasonlósága. A hidrodinamikai és az elekti

1 + i

i + i

i + i

i = - = 0 (?)