Hidrológiai Közlöny 1969 (49. évfolyam)
3. szám - Szalay Miklós: A lamináris folyadékmozgás sebességeloszlásának relaxációs számítási módszerei
HIDROLOGIAI KÖZLÖNY 49. ÉVFOLYAM 3. SZÁM )7—144. oldal Budapest, 1969. március HIDRAULIKA A lamináris folyadékmozgás sebességeloszlásának relaxációs számítási módszerei SZALAY MIKLÓS* A különféle keresztmetszetű csövekben és prizmatikus medrekben létrejövő lamináris vízmozgás sebességeloszlásának meghatározása a Navier— Stokes-egyenleteknek adott peremfeltételek mellett történő megoldására vezethető vissza. A fellépő integrálási nehézségek következtében azonban a zárt alakban,** vagy legalábbis végtelen sor formájában felírható megoldások is csak néhány igen egyszerű, szabályos szelvényalakra vonatkozóan ismeretesek a szakirodalomból. A relaxációs módszerek bevezetése révén lehetővé válik a Navier—Stokes-egyenletek integrálása tetszőleges szelvényalakokra. A relaxálás végrehajtásának módjai közül a tanulmány részletesebben kiterjeszkedik egv, erre a célra szerkesztett elektromos analógiás számítógép alkalmazásának feltételeire. A sebességeloszlás ismeretében számítható egyéb jellemzők (középsebesség, csúsztatófeszültség, Coriolis-szám) meghatározási módjai is ismertetésre kerülnek. 1. A Navier—Stokes-egyenletek megoldási lehetőségeiről A lamináris áramlást leíró Navier—Stokesegyenletek koordinátás alakja: < 2vA z 2) dvxd t = X1 f? 9 p Íx + V d Vy d t = Y1 0 dy dv z z 1 Idt o I' 9 2Vx | í) 2v* { 9 2v x) , dx 2 9y 2 dz 2 "Ö 2Vy , 9a; 2 d 2V z + d 2v + dy 2 9 2v z v , 9 1 + 9z 2 9 2v z) dz 2 (la) (lb) (lc) az z-tengellyel párhuzamos, továbbá, ha p nyomáson a tiszta hidrodinamikai nyomást értjük, akkor az (lb) és lc) egyenletek eltűnnek, az (la) egyenlet pedig az alábbi alakra egyszerűsbödik: rj dx 9y 2 + dy 2 [ ' Egyenes tengelyű cső esetén az — <~ = J piezometrikus gradiens bevezetésével, valamint v x=v figyelembevételével kapjuk az a:-irányú permanens, egyenletes lamináris mozgás differenciálegyenletét : gj d 2v d 2v „ dy'dz 2 -v 2 v dx 2 dy 2 ahol — a közismert jelölésekkel élve —: v x, v y, v z a sebesség x, y, z-irányú összetevői, X, Y, Z a tömegerő x, y, z-irányú összetevői, p a hidrodinamikai nyomás, Q, y, v, r) a folyadék sűrűsége, fajsúlya, kinematikai és dinamikai viszkozitása, g a nehézségi gyorsulás Ha az áramlás permanens és egyenletes, valamint * Budapesti Műszaki Egyetem Vízépítési Tanszéke. A tanulmány a szerző kandidátusi értekezésének kivonatos részlete. ** Zárt alakban történő integráláson azt értjük, amikor zári kifejezésként előállítható a Navier—Stokesegyenletet és az adott peremfeltételeket is kielégítő v = = v(x, y, z, t) függvény. Ennek az elliptikus inhomogén differenciálegyenletnek az integrálására több módszert ismerünk: 1. közvetlen integrálás zárt alakban; 2. integrálás sorbafejtéssel; 3. relaxáció, az utóbbin belül: a) táblázatos, „kézi" számítással; b) elektronikus digitális számítógéppel; c) a szerző által javasolt elektromos analógiás számítógéppel. A zárt alakban történő integrálást kör- és ellipszis keresztmetszetekre többek között Németh Endre [1] ismerteti, szabályos háromszög-keresztmetszetre pedig Knudsen és Katz [2]. Sorbafejtéssel történő integrálás ismeretes a derékszögű négyszögszelvény esetére. Ennek egyik megoldása Németh által idézve [1] Ghetti-tői, másik megoldása Timoshenko és Goodier-tól [3] származik, akik a derékszögű négyszögszelvényű rúd csavarásának analóg esetére oldották meg a feladatot. Végül a derékszögű egyenlőszárú háromszögű zárt szelvényre nézve Knudsen és Katz adnak megoldást [2]. Minden egyéb szelvényalak esetében a zárt alakban, illetve sorbafejtéssel történő integrálás áthidalhatatlan nehézségekbe ütközik és ilyenkor nem marad más hátra, mint a relaxáció numerikus módszeréhez való folyamodás. 2. A Navier—Stokes-egyenlet relaxációs megoldásának elvi alapjai A relaxálással történő integrálás lényegét a legszemléletesebb módon négyszögű tartomány példáján lehet bemutatni.
