Hidrológiai Közlöny 1968 (48. évfolyam)
9. szám - Dr. Vágás István: Az átfolyás elméletének egyes kibernetikai vonatkozásai
402 Hidrológiai Közlöny 1968. 9. sz. Vágás I.: Az átfolyás elmélete Az átíolyás egymáshoz csatlakozó mechanizmusainak jellemzése Az átfolyás elemi mechanizmusára vonatkozó egyenleteinket önmagukban rendszerint csak az elkülönítetten működő, önálló egységet alkotó átfolyásos rendszereknél — pl. az egységes egészként vizsgált ülepítőmedencéknél, a jelzőoldat adagolási és mintavételi helyével meghatározott vízhozammérési mederszakaszoknál stb. — hasznosítjuk. Más esetekben azonban —- pl. a vízmérceállomások sorozatával ellátott vízfolyásokon, a szakaszai tekintetében külön is vizsgált ülepítőmedencékben stb. — szükségessé válik az elemi átfolyási rendszerek összekapcsolása. Az összekapcsolás következtében valamely átfolyásos térség elfolyási függvénye (tehát egy válaszfüggvény) a következő térségre vonatkoztatott hozzáfolyási (tehát ráhatási) függvénnyé válik, s az új térségre vonatkozó válaszfüggvény azután egyúttal a soron következő további térség viszonylatában lesz ráhatási függvény. Korábbi tanulmányainkban [8, 13, 15] bemutattuk, hogy az átfolyási görbével ábrázolható karakterisztikus Qb függvény, amit a vízmozgás természetének megfelelően a transziens folyamatra utaló, általánosan használatos átmeneti függvény helyett legcélszerűbben átfolyási függvénynek nevezhetünk, az átfolyás hatásának a j sorszámú elemi rendszerről a (j+1) sorszámúra való előre haladása során, egyebekben azonos passzív jellegű hidraulikai és geometriai körülmények között a Q&.cafo')'— Qft.O+ofe'+i) ( 2 3) egyenlettel kifejezhető változást szenvedi, ahol nemcsak a vízhozam, hanem az idő értékek mellett is kifejezésre juttattuk a vonatkoztatási rendszer sorszámozását, és ezek átszámítására (2. ábra) a Xj,j+1 • tj (24) összefüggést használjuk. Az átszámítás tényezője X, a már említett „azonos" körülmények következtében az időtől független, és az előrehaladás vízfolyással azonos irányának megfelelően értéke az egységnél mindenkor nagyobb. A (23) egyenlet tulajdonképpen a (j+1) sorszámú rendszer Qb, o') (tj) egyenletű ráhatási függvényét és e rendszer erre adott karakterisztikus válaszát, a Qb, o + 1> (t) + 1) egyenletű átfolyási függvényét hozza egymással kapcsolatba. Az a Qb,(j)(tj)' függvény, amely a (j+1) rendszerben ráhatási függvény, a j rendszerben egy őrá vonatkozó ráhatási függvény karakterisztikus válaszfüggvénye. Keressünk ezek után kapcsolatot az egymáshoz képest T ráhatási idővel eltolt karakterisztikus függvények különbségéből származtatott általános („kikapcsolódásos") válaszfüggvények között: Célszerűen a j rendszer egy meghatározott Qv,u)(tj) válaszfüggvénye és a (j+1) rendszerben erre, mint ráhatási függvényre kapott újabb, Qv,a+i)(h+i) válaszfüggvény között. A j rendszer alapul szolgáló válaszfüggvénye: QvM=QbM — Qb,&(t, — T) (25) Ezt azonban mindjárt át is írhatjuk a (23) és (24) egyenletek alapján a (j + 1) rendszerben érvényes kifejezésekkel a (j + 1) rendszerbe transzformált válaszfüggvénnyé. Ez a válaszfüggvény természetesen el fog térni a (j+1) rendszer valódi válaszfüggvényétől, hiszen az átfolyás előre haladása során a T eltolási időérték minkenkor állandó marad, a transzformáció alapján viszont A-val szorzódik. Éppen ezért — megkülönböztetésül — a transzformált válaszfüggvényt a v index helyett lássuk el T • X indexszel (2. ábra): QTI, (J+I) (t]+l)— = Qk o+1) (tj + 1) — Qb, (j+1) (tj+1 — X-T) (26) ahol a X melletti (j,j +1) indexet a rövidség céljából elhagytuk. A (j+ 1) rendszer válaszfüggvénye: Qv,a+1) (tj+ x)=Qb,a+i) (^+i)-Ö6,a+i) (tj+i-T) (27) A (26) egyenlettel kifejezett transzformált válaszfüggvény és a (27) egyenlet szerinti valódi válaszfüggvény a figyelembe veendő ráhatási idő értékben különbözik. Eszerint a két szomszédos rendszer egymásból származó válaszfüggvényeinek összehasonlítása visszavezethető egyetlen rendszerre vonatkoztatott kétféle válaszfüggvény közötti összefüggés meghatározására. Ha a X átszámítási tényező történetesen egész számnak adódnék, úgy a keresett összefüggés máris meghatározható volna az előzőkben már levezetett (4) és (7) mátrixegyenletekkel. Az ott Q,-vel jelölt oszlop mátrix szerepét ezúttal a Qta, o'+i) oszlop mátrix veszi át, amelynek elemeit a (j + 1) rendszerbeli tj+i időpontttól visszafelé, 7-vel történő lépcsőzéssel állítjuk elő, a kezdő értékkel együtt n számú lépcsőzés lehetőségével. A Q^ jelű oszlopmátrix szerepét pedig a Q>, y + 1) oszlop mátrix veszi át, amelynek képzése az előzővel azonos. Az együttható-mátrixok rendszáma: a=n, a hipermátrixblokkok rendszáma ezeken belül: v=X, így ezek Hn.x és G n,x alakúak. A X átszámítási tényező azonban rendszerint nem egész szám. Elegendő pontossággal megállapíthatjuk viszont a T és a X • T értékeli legnagyobb közös osztóját, h-t. A h szerinti felosztásnál T= = h • v, ahol v egész szám, s a közös osztó definíciójának megfelelően v • X is egész szám. A válaszfüggvények összehasonlítását így a h szerinti lépcsőzéssel képzett Qw, o + 1> és Q», o'+i) oszlopmátrixokra visszavezetve végezzük el. A h szerinti lépcsőzés ji számú értékképzés lehetőségét biztosítja, ahol (n — 1) -h <, y, <,n-h A válaszfüggvények összehasonlításánál segédfüggvényként most a legcélszerűbb a Q&, o + 1) mátrixot használnunk, s akkor a (11) egyenlet alapján: Q6,Ü+I) = H*,VA-QTU, O'+I) (28) A II,* vk együttható-mátrix blokkrendszáma azért v • X, mert a T • X ráhatási idő a 7t-nak v • /.-szorosa. A (27) egyenletbe helyettesítéshez szükségünk van még a tj+ x időponttól visszafelé A-val lépcsőzött értékeket tartalmazó Q^ y+i) mátrix ÍT-vel eltolt alakjának, a (< J+ 1 — T) időponttól
