Hidrológiai Közlöny 1968 (48. évfolyam)

9. szám - Dr. Vágás István: Az átfolyás elméletének egyes kibernetikai vonatkozásai

Vágás I.: Az átfolyás elmélete Hidrológiai Közlöny 1968. 9. sz. 401 A felírt mátrix-egyenletekből kitűnik, hogy a Qb függvény a kívánt feltételeknek megfelelően egyértelmű függvény. A (4) és (11), valamint a (7) és (12) egyenletek összevonásával pedig közvetlen kapcsolatát is megteremthetjük a Qb rész-válaszfüggvényekkel : (15) QA = G,U,V-G*. r •Q& = G„-Qfe (16) Az együtthatómátrixok szorzatmátrixának felírása még bizonyításra szorul. A szükséges mátrix szorzatok a hipermátrix alak felhasználásával számíthatók ki a legegyszerűbben, tekintve, hogy az egységmátrix-blokkokkal való identikus szorzások lehetősége itt hasznosítható. Elvégezve a számításokat, kapjuk: ~H„ C, (V.. •H„ „= 0 Hr Cj 0 0 H, H," ; 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 (17) Magyarázatul megjegyezzük, hogy Cj-gyel a minden elemében egyeseket tartalmazó mátrixot jelöltük, s eszerint a szorzatmátrix felső sarka is csupa egyesből áll. A Hv mátrixok főátlói ós afölötti elemei egyesek, így a végeredmény: a főátlót is magában foglaló felső sarokmátrix egyesekből. Ez viszont megfelel azon esetnek, amikor a v értéke felnő fi-re, tehát H^-nek. Más oldalról továbbá: G/, [Gr (c, — 1 Gr) 0 V ' GjU, v — 0 Gr — 1 Gr) (Cx V ' GjU, v — 0 0 Gr ~1 — 1 0 0 ' 0 . 0 1 —1 0 0 0 0 1 —1 0 0 0 0 1 —1 0 0 0 -0 1 = G„ ...(18) Magyarázatul annyit, hogy a (Cj,_ t—Gr) különbségből alkotott blokkok — mint erről egyszerű számítással meggyőződhetünk —- csak az alsó balsarkukban tartalmaznak egyetlen (—l)-es elemet, egyébként zérusokat. A főátló-blokkokban pedig az alsó jobbsarok eleme egyes, ehhez kerül szomszédként az összerakásnál ez a —1 érték. Összességében itt is látható, hogy valóban a G,/ mátrixra jutottunk, hiszen a v—fj, eset valósult meg ismét. Megtaláltuk tehát a fentebbiekben mind a rész-válaszfüggvényeknek egymással, mind a teljes válaszfüggvénnyel, mind pedig a Qb egyesítési függvénnyel alkotott kapcsolatainak mátrix-egyenleteit és együttható-mátrixait. Vizsgáljuk meg még a teljes válaszfüggvény és a Qb függvény kapcsolatait; ez a Qb függvény alapvető jellegére és a függvénykülönbség-képzési algoritmus átfolyási elméleti általánosságára fog élesen rávilágítani. Tekintsünk ugyanis olyan, az (1) egyenlet szerinti ráhatási függvényt és rá kapott Q

v=Q,

v(t) válaszfüggvényt, amelynél a T ráhatási időt egyetlen egységben hagyjuk, nem osztjuk részekre, így T—h és v=l. A válaszfüggvény egyúttal „teljes" is, és „első részválaszfüggvény" is. Emiatt — és egyébként képzési szabályuk következtében is — a H„, j es a (in, i mátrix (az átfolyási elmeletben szokott n jelöléssel azonosítottan [8, 14]) n-ed rendű négyzetes egységmátrixszá egyszerűsbödik. Ugyanekkor a mátrixok blokkjai elemekké változnak és így átmennek a II

r

e és a G», a (17) és (18) egyenletekben meghatározott n-ed rendű négyzetes mátrixba. így: Q&=H„ (19) Q,=G»-QA (20) A (19) mátrixegyenlet kifejtésével ahhoz a nagyon fontos tételhez jutunk, amelyet az átfolyási hullám és az átfolyási görbe kapcsolatára vezettünk le annakidején [8, 14] Q b(t) = Q „(<) + Q„(í —T) + Q,(í — 2 T)+...+ + Q v[(t-(n-l)-T] (21) A (20) egyenlet kifejtése viszont magát a különbségi algoritmust szolgáltatja; [3, 8, 9, 10, 11, 14, 15, 16]: q

v(t)=q

b(t)-q

h(t — T) (22) (Kiírásunkban mindkét utóbbi esetben szorítkozva az egyenletrendszer első sorára, hiszen a további sorok a kifejezett összefüggés alapjairól már nem mondanak további újat.) Bizonyítottuk tehát, kogy a különbségi-elv a válaszfüggvények viszonylatában is érvényes. Megmutattuk, hogy a Duhamel-elv az átfolyási elmélet megállapításaival egyenértékű más kifejezésmód, s az átfolyás elméletének következtetései a Duhamel-elvből, a Duhamel-elv az átfolyás elméletéből kölcsönösen leszármaztatható. Rámutattunk egyfajta függvénynek — a levezetéseinkben egyesítési függvényként jelentkező, a (22) egyenletből láthatóan azonban az átfolyási görbét kifejező Q

b függvény — hidraulikai értelemben [8, 9, 10] karakterizáló tulajdonságára, arra, hogy egyedül ez a függvény nem függ az átfolyás hatásán kívül álló ráhatási tényezőktől és ez testesíti meg az átfolyás során kialakuló transziens állapot hidraulikai jellegét. Erre vezethető vissza minden más, a ráhatás körülményeit is tükröző válaszfüggvény, vagy rész-válaszfüggvény-összetétel, mint az egységugrás átmeneti függvényére. Az átfolyás elmélete a Qb függvény meghatározására elfogad minden rendelkezésre álló elméleti lehetőséget, vagy kísérleti utat. A Q

b tényleges meghatározására nézve az átfolyásos rendszer ,,fekete doboz"-ként tekinthető; az átfolyás elmélete a meghatározás egyértelműségére és a már meghatározott függvények kapcsolatainak vizsgálatára fekteti a lényeget. Az átfolyás elemi mechanizmusa — amint láthattuk — a Qb függvény algoritmikus jellegű kapcsolatait hozta létre. A következőkben megvizsgáljuk, miként csatolhatok egymáshoz ezek az elemi mechanizmusok, és az így kialakított összetett hidraulikai rendszer viselkedésére milyen tulajdonságok jellemzők.