Hidrológiai Közlöny 1968 (48. évfolyam)
9. szám - Dr. Vágás István: Az átfolyás elméletének egyes kibernetikai vonatkozásai
Vágás I.: Az átfolyás elmélete Hidrológiai Közlöny 1968. 9. sz. 399 Jelentheti mindegyikük — az előzőekkel összhangban — a különböző, egymástól h egész számú többszöröseivel eltolt rész-válaszfüggvényeknek egységesen a t független változó szerinti értékét. Jelenthetik azonban ugyanezek a kifejezések pl. az első rész-válaszfüggvény t, t — h, t — 2h,... t — (v — 1) • h független változókhoz tartozó önálló értékeit is, sőt azonosíthatók ezek a r-számú rész-válaszfüggvény bármelyikéhez kizárólagosan tartozó értékek sorozatával is. A rész-válaszfüggvények azonos t szerinti függvényértékeinek halmaza tehát megtalálható bármelyik rész-válaszfüggvény t-hez, vagy í-től h egész számú többszöröseiben különböző független változóihoz tartozó függvényértékek halmazáöan, annak általában részhalmazaként. Rendszerint ugyanis a részQv, o — Qh,0 + Qh,l + Qh,2 + • Qv,i = Qh,i+Qh,2+• Qv, 2 = Qh,2 + • válaszfüggvényeken, s így az e szempontból leginkább mértékadó első rész-válaszfüggvényen belül a ^-szerinti és a A-val lépcsőzhető — kvantálható — független változók szerinti függvényértékek együttes száma nagyobb a rész-válaszfüggvények számánál (1. ábra), tehát az első rész-válaszfüggvény kvantált értékei között maradnak a többi részválaszfüggvény í-szerinti értékeire vissza nem vezethetőek is. Legyen az első rész-válaszfüggvényen a t-hez tartozóval együtt /i számú A-val kvantálható érték, legyen továbbá a részválaszfüggvények száma v. írjuk fel a teljes válaszfüggvény (2) szerinti alakját a t-re vonatkoztatott 0 index mellett, majd az i-h (i=l, 2, ... /x — 1) kvantált értékekre vonatkozóan : • + Qh, v—1 • + Qh,v—1 + Qh,v • + Qh, v—1 + Qh,v + Qh,v +1 Qv,/J—2 — Qv,!!— 1 = A Q v és a Qh kvantált értékei közötti összefüggés mátrix-egyenletben is írható: ehhez a Q„ értékeket és a Qh értékeket oszlopmátrixba kell foglalni, s bevezetni a IL^ v együttható-mátrixot,* amely olyan p-ed rendű négyzetes mátrix, amely főátlóját is ide számítva összesen v számú, főátlóval párhuzamos átlójában csak egyeseket tartalmaz, a többi eleme zérus. Ezzel [6]: Q)'=H//,v -Q/i Kiírva pl. a [t=6 és v=3 esetre: (4) Qv, 0 1 1 1 0 0 0 Qv, i 0 1 1 1 0 0 Qv, 2 .0 0 1 1 1 0 Qv, 3 0 ü 0 1 1 1 Qv, 4 0 0 0 0 1 1 Qv, 5 0 0 0 0 0 1 (5) Qh, í< _2 + Q/i, j"—1 Qh,v-1 (3) Qh, 0 Q h,i Qh,2 Qh, 3 Qh,i * A hidraulika járatos jelölésrendszeréhez ragaszkodva — amely szerint a vízhozamot nagy Q betű jelöli, a kis q betű viszont a fajlagos vízhozam jelölésére van fenntartva —- kénytelenek voltunk a matematika elfogadott jelölésrendszerétől némileg eltérni. A sor- és oszlopmátrixok („vektorok") matematikai jelölésében ugyanis általában a kisbetűk használata szokásos, sőt az indexelés helye és sorrendje is jelentőséggel bírhat, és ezért rendszerint egységes szabályok szerint megszabott. A négyzetes mátrixok matematikai jelölését viszont már az elfogadott szabályoknak megfelelően használhattuk, tehát nyomtatásban vastag, ún. „fett" betűtípusú nagybetűkkel jelölhettük ezeket. Ebben a tanulmányban a hidraulikai jelölésrendszer alkalmazásának következményeként a négyzetes mátrixok jelölése, illetve az oszlopmátrixok jelölése között legfeljebb csak az általunk itt használt indexelés rendszere útján tehetünk különbséget. Ez a matematikai szakirodalom szemléletmódja szerint kétségtelenül nehézkesebb lehet, hidraulikai szempontból azonban szemléletesebb, s értelmezési zavarra nem vezethet. A 11/,, v együttható-mátrix természetéből következik, hogy az r-ed rendű négyzetes mátrixok blokkjaira particionálható és hipermátrix alakban is felírható. (Ha a fi érték nem volna v egész számú többszöröse — mint a fenti felírásnál volt — úgv a particionálás szintén elvégezhető, de a jobboldalt** és alul kialakított utolsó blokkok nem lesznek négyzetesek.) A H,,,* hipermátrix blokkrendszerének főátlójában egységesen úti. „felső háromszögmátrixok" állanak, amelyek a 11,,,* mátrixból [x=v feltétel mellett származtathatók, ezért llv-vel jelölhetjük őket. A főátlóval párhuzamos első felső mellékátlóban pedig szintén egységesen olyan „alsó háromszögmátrixok" állnak, amelyek a FL blokkot a minden elemében kizárólag egységet tartalmazó blokkra egészítik ki, így ezeket (C x — lL)-vel jelöljük. A hipermátrix további blokkjai zérusok. Így: H„ II, i (C, - H.) 0 0"j II, (0, - H,) 0 0 Hv (6) A (4) mátrixegyenletet a Q& oszlopmátrixra is kifejezhetjük akkor, ha meghatározzuk a H^ V=G / I,v együttható-mátrixot. Ezzel: (7) A reciprok-mátrix meghatározása most viszonylag egyszerű, tekintve, hogy a (2) egyenlet** A tanulmányban —- a könnyebb érthetőség és a pontosabb meghatározás érdekében — a matematikai szaknyelvben elfogadott „főátló alatt" és „főátló felett" kifejezések mellett ós helyett használni fogjuk a „főátlótól balra" ós „főátlótól jobbra", vagy „jobb oldali" ós „bal oldali" stb. kifejezéseket is, annak tudatában, hogy az általunk használt kifejezések a matematikai szaknyelvből tudomásunk szerint hiányoznak.
