Hidrológiai Közlöny 1965 (45. évfolyam)
8. szám - Vágás István: Árhullámok entrópia-elmélete
Vágás 1.: Árhullámok entrópia-elmélete Hidrológiai Közlöny 1965. 8. sz. 34Í) 1. példa : Az információelméleti irodalom [2, 5] a különböző valószínűségi eloszlású események határozatlanságát kifejező entrópiafogalom magyarázatára a következőkhöz hasonló egyszerű számpéldákat szokta bemutatni : 1. Legyen egy urnában 100 golyó, amelyek közül 50 fehér és 50 fekete. Egy találomra kiemelt golyó a színe tekintetében a következő határozatlanságot rejti magában (p x = p 2 = 0,5) : 5 1 = —[0,5-In 0,5 + 0,5-In 0,5] = 0,6931. 2. Legyen a 100 golyó közül 99 fehér és I fekete. Egyet kiválasztva : (p x = 0,99, p 2 = 0,01) 5 2 = —[0,99 - In 0,99 + 0,01 - In 0,01] = 0,0560 Látható, hogy a határozatlanság foka lényegesen csökkent, ami természetes is : a fehér golyó húzása ebben az esetben csaknem bizonyos. 3. Legyen mind a 100 golyó fehér. A húzás eredményében rejlő határozatlanság foka : (p, = I, p, 2 = 0) S 3— —[1 -In 1 -f 0 -In 0] = 0 Ugyanis In l == 0 és lim [p • In p] = 0. A kísérlet teljes p-> o bizonyosságú, határozatlanság nélkül. Bebizonyítható, hogy az egyenletes valószínűségi eloszlás esetében a legnagyobb a kísérlet eredményének határozatlansága, tehát az entrópia értéke akkor a legnagyobb, ha p l — p 2 = ... = p n. Az entrópia zérus voltának viszont az a feltétele, hogy az előforduló valószínűségi értékek egyike 1 legyen, a többi pedig 0. Szükségesnek tartjuk még megjegyezni, hogy ha két kísérlet eredményei részben vagy egészben függenek egymástól, a határozatlanságok összeadásának elve nem alkalmazható. Teljes függés esetén új határozatlanság nem adódhat a meglevőhöz ; részbeni függés esetén viszont a hozzáadásra kerülő határozatlanság foka csökkenni fog. Az összeadás elve itt csak a feltételes határozatlanság, illetve a feltételes entrópia fogalmának bevezetésével állítható helyre [2, 5]. E tárgykört a továbbiakban nem érintjük. Utalunk azonban e tanulmány irodalmi anyagára és továbbmenően az ezekben felsorolt hivatkozásokra. A permanens és a nem-permanens vízmozgások elhatárolása az entrópiafogalom segítségével A hidromechanika alapvető meghatározása szerint mindazok a vízmozgások, amelyeknél : — = 0, vagyis, ahol a sebesség (v) ugyanazon a 31 helyen az időben (t) változatlan, permanens vízQv mozgások, amelyeknél viszont: — =h 0, vagyis, 91 ahol a sebesség ugyanazon a helyen más időben más lehet, nem-permanens vízmozgások [1, 8, 10]. Ezt a meghatározást kibővíthetjük az entrópia fogalmának hidraulikai értelmezésével. Az entrópia nemcsak a kétfajta mozgástípus elválasztására alkalmas jellemző, hanem a permanens állapottól való eltávolodás mértékének összehasonlító megállapítására is használható mértékszám. Ha a vízmozgás valamelyik szelvényében, annak eredeti, permanens állapotú Q 0 vízhozamához képest (Q e—Q 0) vízhozamtöbblettel (megfelelő előjelválasztás esetén : hiánnyal) árhullámot indítunk el, és az elindítás szelvényében az új, Q e vízhozamot T időn keresztül fenntartjuk (1. ábra), továbbá, ha bizonyosak lehetünk Sg szelvény 7/ s, sielveny s 2 szelveny HQ e-Qo)-T h-r-H t—T—I 1. ábra. Ha az árhullámkép minden szelvényben azonos volna, alakváltozásában semmi határozatlanság sem volna, így entrópiája is változatlan (zérus értékű) maradhatna (puzypa 1. Hcau 6h deuitceHue naeodOHHOÜ soahu 6uao oduHaKoeoe e kümöom cmeope, mo e u3MeneHuu ee cpopMbi hu kqkoü HeonpedeAeHHOcmu ne öhaü 6bi, CAedoeameAbHO u ee anmponuH mozaü 6bi ocmambca Heu3M€HHOÜ (c eeAuiuHOü 0) Fig. 1. If the flood hydrograph ivere identical in each section, its deformation would be definite, and its entropy would remain the same (of zero value) abban, hogy ez az árhullámalakzat minden további, alsóbb szelvényben időkésleltetés után, vagy esetleg anélkül pontosan ugyanúgy újra lejátszódik, mondhatjuk, hogy az előrejelzést semmi előzetes határozatlanság nem terheli, s az árhullám semmi olyan „információt" sem visz magával, amit már kialakulása idejében ne jósolhattunk volna meg teljes bizonyossággal. Eltekintve azoktól az elméletileg zérus időtartamoktól, amelyeken belül a vízhozam (? 0-ról Q,,-re, illetve Q,,-rö\ Q n-ra váltott, a vízmozgás permanens volt. Ha az árhullámmal továbbításra kerülő V = (Q e—Q 0)-T víztérfogat (víztömeg) változatlan időeloszlású levonulásának bizonyosságát egységnyi valószínűségűnek értelmezzük, az (5) egyenlet értelmében megállapíthatjuk, hogy ennek határozatlansági foka, másszóval entrópiája zérus. A valóságban azonban az árhullámok — levonulásuk során — alakjukat változtatják : időben elnyúlnak, tetőző vízhozamaik csökkennek (ellapulnak), csupán a vízhozamukat az idő függvényében ábrázoló görbe alatt mérhető, területdarab, amely a továbbított vízmennyiséggel arányos, marad változatlan. Annak valószínűsége, hogy az árhullámkeltés s 0-jelű szelvényében a t — 0 időpontban kezdődő és t = T időpontban végződő Q = Q o vízhozamról Q — Q e vízhozamra emelkedő, majd onnan újra Q 0-ra csökkenő vízhozamú árhullám a vízfolyás egy másik, s x jelű szelvényében a íj és a (ti + Ati) időpontok között vizet szállítson : pt, ahol Pi (Qi — Qo)-Atj (Qe-Q 0)-T (2. ábra). Kétségtelen, hogy az eredeti árhullámalakzat megváltozása következtében a permanens mozgástípus teljes meghatározottságához képest Sí mértékű határozatlanság keletkezett. A vízmozgás egy további, s 2-jelű szelvényéljen az árhullámkép eredeti alakjához képest tovább torzul (2. ábra). Az s x—s 2 szakaszon bekövetkezett torzulás független az s 0—s, szakaszon bekövetkezett torzulástól. Annak valószínűsége,
