Hidrológiai Közlöny 1964 (44. évfolyam)
5. szám - Vágás István: A Bolyai-geometria hidraulikai jelentésének igazolása euklideszi modellen
206 Hidrológiai Közlöny 1961. 5. sz. A Bolyai-geometria hidraulikai jelentésének igazolása euklideszi modellen VÁGÁS ISTVÁN* A Hidrológiai Közlöny 1902. évfolyamában közreadott két tanulmányunkban [2, 3] kidolgoztuk a Bolyai-geometria hidraulikai alkalmazásának két különböző módszerét. A Bolyai-geometria rendszerének az euklideszi rendszerhez képest értett ellentmondásnélküliségét annakidején azzal sikerült bebizonyítani, hogy az euklideszi síkon (térben) olyan geometriai alakzatokat találtak, amelyeken belül — az euklideszi axiómák bizonyos módosítása mellett — a Bolyai-geometria fogalmait egyértelműen követni lehetett [1], Az említett geometriai alakzatok a Bolyai-geometria euklideszi modelljei. Ha sikerül bizonyítani, hogy a Bolyaigeometria euklideszi modelljei olyan hidraulikai folyamat leírására is alkalmasak, amelyekből megfelelő transzformációk útján a talajvízszínsülylyesztés, illetőleg a vízszínduzzasztás jelenségének leírására jutunk, a Bolyai-geometria eme két hidraulikai alkalmazásának jogosultságát elméletileg maradéktalanul igazoltuk. A Cayley—Klein-féle geometriai modell A Cayley—Klein-féle modell (röviden: CKmodell) a Bolyai-féle hiperbolikus sík (tér) modelljeként az euklideszi síknak (térnek) egy elhatárolható, véges részét használja [1], A Bolyai-értelmezésű sík végtelen távoli pontjait a modellen a A"-jelű, véges sugarú körre illeszkedő pontok jelentik (la és 2a ábra). A Bolyai-értelmezésű egyeneseknek a CK-modellben euklideszi, tehát közönséges egyenesek felelnek meg ; a pontoknak pedig pontok. A hiperbolikus (Bolyai-értelmezésű) síkban fekvő két egyenesnek metsződése a nekik megfelelő modellbeli egyenesek k'-körön belüli metsződésével jellemezhető. A hiperbolikus sík nem-metsző egyeneseit a modellben olyan egyenesek jellemzik, amelyek csak a A'-körön kívül metszenék egymást. A hiperbolikus sík párhuzamos egyeneseinek modellbeli megfelelői a k-körvonalon találkoznak. Ilyen értelmezés mellett a CK-modellben Bolyai János párhuzamossági axiómája érvényes, hiszen pl. az la ábrán a /\ jÁ' 3 egyeneshez a rá nem illeszkedő A ponton át két „párhuzamos"^ is rendelhetünk. (K^A és AK 3). Ugyanígy : a K 2K 3 egyeneshez a C ponton átmenően is rendelhető két „párhuzamos" (K.,C és CK 3). A modellben a geometria Hilbert által megfogalmazott axiómái rendre teljesülnek, egyedül az egybevágóság meghatározása módosul némileg. Az la és a 2a ábrák A'-jelű körén belül különböző helyeken levő, egyenlő hosszúságú egyenesdarabok ugyanis általában nem minősülnek egybevágóaknak. A A-kör szélein rövidebb egyenesdarabok „egybevágóak" a középen levő hosszabbakkal. Az egybevágóság pontos kifejezésére a CK-modellre * Vízgazdálkodási Tudományos Kutató Intézet, Budapest. vonatkozóan matematikai összefüggés is adható. A továbbiakhoz azonban számunkra ennek ismerete nem lesz szükséges. Ábráinkon a Bolyai-értelmezésű párhuzamosság kifejezésére a ||| jel szolgál. A Cayley—Klein-féle modell talaj vízszínsüllyesztés elméleti értelmezése A geometriai modellben szereplő egyeneseknek hidraulikai értelmezést adunk a következőkben. Képzeljük, hogy a K XK 3 egyenest a A-kör szélein elhelyezett, egymással a c-jelű csövön át összeköttetésben levő T, és T 2 jelű tartályokban biztosított nyugalmi vízszín a közlekedőedények törvénye szerint hidrosztatikus nyomásvonalként hozza létre (la ábra). Vegyünk most ki vizet a g^-jelű felszálló vezetéken keresztül úgy, hogy a vízkivételi szint az A pontba kerüljön. A T-jelű tartályok vizét pótlás révén tartsuk mindenkor azonos szinten. Idézzen elő az A pontban történő vízelvétel olyan vízmozgást, hogy a r-jelű csőben a nyomásveszteség a CK-modellbeli csőhosszal lineárisan növekedjék. A belépési, kilépési stb. veszteségek, valamint a f/-jelű vezetékekben előálló nyomásveszteségek legyenek elhanyagolhatók. Az A pontbeli vízkivétel az adott feltételek mellett a K]A és az AK 3 nyomásvonalakat eredményezi. Ezek a nyomásvonalak egyenesek, s /vjÁ^-mal megállapodásszerűen Bolyai-értelmezésű párhuzamosok modellbeli képének minősülnek. Vegyünk ki ezután a <7 2-jelű csövön is vizet, a vízkivétel szintjét a C pontig leszállítva. Az egyidejűleg működő cső vonalában megkereshetjük azt a ö-pontot, amelyek szintjére pótlólag leszállítva a gíj-beli vízkivétel szintjét, létrehozható a K. 2K 3 és K 2C egyenesek Bolyai-értelmezésű párhuzamosságát jellemző modellbeli kép. A K AB, a BC és a CK 3 vonaldarabokból összetett, a g x és g 2 felszálló vezetékeken eszközölt vízkivételek együttes hatását tükröző nyomásábrát vizsgálódásunk végeredményének tekinthetjük. Megjegyezzük, Hogy ezen a végeredményen a (7-jelű vezetékek megcsapolásának sorrendje nem változtaf". A g 2 önálló működéséhez rendelhető nyomásvonal egyébiránt a Á' 4 és D pontok meghatározása után a g 1 és g 2 együttes hatását jellemző nyomásvonalból visszafelé is megszerkeszthető (la ábra). Geometriai eszközökkel bebizonyították [1], hogy a 0K-síkbe[i modell egyértelműen transzformálható a Bolyai-geometria rendszerének megfelelő hiperbolikus síkra (a térbeli CK-modell pedig a hiperbolikus térre). A hidraulikai értelmezéssel felruházott CK-modell transzformációja nyilvánvalóan a hidraulikai vonatkozások transzformációját is jelenti. A hidraulikai folyamat elvén nem változhat, ha a T-jelű víztartályokat a végtelen távoli pontokba transzformáljuk. A csővezetékeken át történő vízmozgás képe (a CK-modell
