Hidrológiai Közlöny 1962 (42. évfolyam)

1. szám - Szigyártó, Z.: A turbulencia statisztikai elméletének alapjai

70 Hidrológiai Közlöny 1962. 1. sz. Szigyártó Z.: A turbulencia statisztikai elmélete A tapasztalat szerint a P és P' rendszer két tetszőlegesen választott irányában az egyidejű sebességkomponensek között korreláció van. Meghatározva a két rendszer tengelyirányú sebességvetületei közötti korrelációt, kilenc korrelációs együttható kapható, melyeket most jelöljünk a már használt gy-től eltérő i?#-val, utalva arra, hogy ez alkalommal nem egy, hanem két rendszer különböző irányú sebességkomponenseire vonatkozik. Bebizonyítható továbbá, hogy az ezekből képzett mátrixszal definiált íR

n R

1

2 -fí

1

3\ R = ^21 -^22 ^23 ( 28) VJ?31 i?32 -®33' tenzor, a korrelációs tenzor alkalmas arra, hogy segítségével a két rendszer egyidejű sebességeinek bármelyik tetszőlegesen választott, akár különböző irányba eső vetülete közötti korrelációt meghatározzák. Ha ugyanis a P rendszer választott iránya az e, a P' rendszeré az e' egységvektorral jellemezhető, akkor a megfelelő sebességvetületek közötti korrelációt jellemző korrelációs együttható számítható a -R = e - R - e' (29) képlettel, mely a (18) képlettel analóg kettős szumma rövidített jelölése, s mely tulajdonképpen az e' vektor R tenzor által meghatározott leképzésének o irányú vetületét adja meg. Belátható továbbá az is, hogy az lUj Ra azonosság következtében a korrelációs tenzor is tükrös. Tehát mindenkor található három olyan egymásra merőleges irány, a tenzor sajátvektorainak iránya, melyeket a P és P' pontban koordinátatengelyekül felvéve a tenzor főátlón kívüli tagjai zérussá válnak. így e három főirányban a két sebesség egymásra merőleges komponensei között korreláció nincs ; azok egymástól függetlenek. A tenzor e három sajátiránya az ezek meghatározásához szükséges sajátértékek, invariánsok a (10), (11), (12) és a (13) összefüggésekkel analóg képletekből számítható. * A szórástenzorhoz hasonlóan a korrelációs tenzornak is különleges esete az, amikor a sajátértékek azonosak : Aj = A

2 = A

3, azaz R

n = R

2

2 — R

3

3 = R. Belátható, hogy ha a korrelációs tenzor kielégíti ezt a feltételt, akkor a tér bármely három egymásra merőleges iránya a korrelációs tenzor saját irányának tekinthető ; azaz a P és P' rendszer sebességeinek bármelyik egyidejű és egyirányú sebességkomponense között ugyanolyan szoros, R korrelációs együtthatóval jellemezhető kapcsolat van, míg a két rendszer bármelyik egyidejű és egymásra merőleges komponense között a korreláció zérus, azaz azok egymástól függetlenek. A turbulencia ezt a fajtáját, mely a korábban már ismertetett, lényegében „pontbeli" izotrópia „térbeli" analógját jelenti, célszerűen a vizsgált pont-pár szempontjából térben izotrój) turbulenciának nevezhetjük. A korrelációs tenzor sajátságainak további részletezése, alkalmazásának ismertetése meghaladná a tanulmány célját. Mégis, még talán annyit érdemes megemlíteni, hogy a korrelációs tenzor (a turbulencia viszonyokon kívül) természetesen függ a két koordinátarendszer kezdőpontjának egymáshoz viszonyított helyzetétől, s a kettő közötti távolság növelésével a korrelációs együtthatók értéke csökken. így például Kalinske egy 30,5 X 30,5 cm nedvesített keresztmetszetű csatorna közepén levő, közelítőleg 20 cm/s sebességű pont környezetében, az áramlás fő irányában a korrelációs tényezőre a távolság függvényében a 3. ábrán bemutatott összefüggést kapta. * A turbulencia térbeli sajátságainak ismertetésével kapcsolatban, befejezésül, meg kell még emlékezni a homogén turbulencia fogalmáról. Az erre vonatkozó definíció szerint a turbulencia térben akkor homogén, ha a szórástenzor a tér minden pontjában ugyanaz. így beszélhetünk „homogén, izotróp" turbulenciáról, mely tehát azt jelenti, hogy a szórástenzor a tér minden pontjában azonos, s mindhárom sajátértéke ugyanaz. Külön ki kell emelni, hogy a korrelációs tenzor szempontjából a vízmozgás sohasem lehet homogén. Ez ugyanis azt jelentené, hogy a tenzor a tér bármelyik pont-párjára ugyanaz, ami ellenr tnvolaáq 3. ábra. A korrelációs együttható (R) csökkenése a távolság (r) függvényében. (A. A. Kalinske nyomán) Que. 3. yMeHbiueHue rcoicpcpuifueHma Koppejiaifuu (R) s 3aeucuM0cmu om paccmoHHUH (r), (no A. A. KaJiUHCKe) Fig. 3. Reduction of the correlation coefficient (R) plotted against distance(r) (After A. A. Kalinske)