Hidrológiai Közlöny 1962 (42. évfolyam)

1. szám - Szigyártó, Z.: A turbulencia statisztikai elméletének alapjai

Szí gyártó Z.: A turbulencia statisztikai elmélete Hidrológiai Közlöny 1962. 1. sz. 69 A jőátlón kívüli tagok dimenzió szempontjából ugyanúgy energia-jellegű mennyiségek, mint a főátló elemei. Fizikai értelmezésük azonban nehézkes. De erre különösebb szükség nincs is, mert a turbulencia szempontjából „természetes" koordinátarendszernek tekinthető saját-vektor rendszerben ezek a tagok 0-vá válnak, s így a szórásviszonyok és az eloszlás ezek nélkül elvileg bármikor jellemezhető. Ezek az értékek tehát nem is annyira a turbulenciát, mint inkább az általunk önkényesen felvett koordinátarendszert jellemzik. * Az előbbiekben a szórástenzor főátlójában levő elemek fizikai jelentését elemeztük. Az ezzel kapcsolatban felírt összefüggés azonban lehetővé teszi a tenzor első invariánsának az értelmezését is. Ugyanis a (11) és (20) képlet összevetéséből : K(E

t)=~(o

í

l+o

2

2+o

3

3)=~I

1, (21) s így a tenzor első invariánsa az y

2 szorzó tényezőtől eltekintve azonos az egységnyi víztömegre vonatkoztatott mozgási energia várható értékének turbulenciából származó többletével, a turbulens energia várható értékével. * Izotrop turbulenciánál lehetőség nyílik arra, hogy a tenzor második invariánsának is fizikai értelmet adjunk. Bebizonyítható ugyanis, hogy az egységnyi tömeg v sebességeltérésből számítható mozgási energia többletének szórásnégyzete : D

2(T

í

2)

=T

(

Al + ;

i2

+

A3

) (22

) — ahol a korábbi jelölések szerint A

1

; A

2, A

3 a szórástenzor három sajátértéke —, s így izotróp turbulenciánál (A

x = A

2 = A

3 = cr

2) I>

20 ) = 4 + + A^) = -i/

2 (23) Izotróp turbulenciánál tehát a szórástenzor második invariánsa az % szórzótényezőtől eltekintve azonos a turbulencia következtében fellépő v sebességeltérés vektor segítségével számítható, egységnyi tömegre vonatkoztatott energiatöbblet szórásnégyzetével. Fel kell hívni azonban a figyelmet arra, hogy a (23) kifejezés még izotróp turbulenciánál sem egyenlő a turbulencia hatására keletkező energiaingadozás szórásnégyzetével (hanem annál kisebb). Az egységnyi tömegre vonatkoztatott mozgási energia szórásnégyzete ugyanis a (19) összefüggés alapján : 1)

2($) = D \E

t) = v

2 + M(v) -íj (24) azaz valóban I)

2(£) > D

2(-í

r'

7

2) (

2

5) * Az energiaviszonyok elemzésének befejezéseként ki kell még térni a szórástenzor első invariánsának egy fontos alkalmazására. Láttuk, hogy a (21) egyenlet szerint a mozgó víztömeg valamely pontjában a turbulens energia várható értéke : 31 (E

t) = \l

v Ennek alapján viszont lehetőség nyílik arra, hogy egy adott számmal a turbulens energia szelvényre vonatkoztatott középértékével, a szelvény közepes turbulens energiájával jellemezzük az ott uralkodó turbulencia viszonyokat. Ezt az így definiált mennyiséget a M*

W=

=2MW I 7i

M<

v)d

f <

2

6) felületi integrál határozza meg, hol M(/) a szelvényterület, M(Q) az azon átfolyt vízhozam, M(v) a df elemi felületre jellemző sebesség várható értékét jelöli, s I

1 a szórástenzor első invariánsa. A korrelációs tenzor, a térben izotropés a homogén turbulencia A turbulencia statisztikai elméletének alapjait ismertetve, végül meg kell még emlékeznünk az egymás környezetében levő pontokban uralkodó egyidejű sebességekről. Ezzel a kérdéssel elsőnek Taylor foglalkozott részletesebben, majd később — az izotróp turbulencia esetére vonatkoztatva — Kármán helyezte az elméletet általános alapokra. A Kármán által bevezetett korrelációs tenzor használatát kiterjesztve a nem izotróp turbulencia esetére is, az alapjelenségekkel kapcsolatos törvényszerűségek így foglalhatók össze : Adott két, P és P' pont a mozgó víztömeg belsejében (2. ábra). Mind a két pont egy-egy koordinátarendszer kezdőpontja, s e két koordinátarendszer tengelyei páronként párhuzamosak egymással ; azaz ha a P, illetve a P' rendszer három egységvektora e

x, e

2, e

3, illetve e'

1

; e'

2, e

3, úgy e* -eí = 1, e, -e/ = 0, e

t- -e* = 0, (27) i, j, k = 1, 2, 3, i * j k. k t« 2. ábra. A korrelációs tenzor két koordinátarendszere 0ue. 2. JXee cucmeMbt Koopdunam meH3opa KoppeAHifuu Fig. 2. The two coordinate systems of the correlation tensor