Hidrológiai Közlöny 1962 (42. évfolyam)

1. szám - Szigyártó, Z.: A turbulencia statisztikai elméletének alapjai

68 Hidrológiai Közlöny 1962. 1. sz. Szigyártó Z.: A turbulencia statisztikai elmélete zor megfelelő saját értékével, A-val : of = X. I l ha ei || g» (i = 1, 2, 3) E három saját-értéket viszont a _A3 + /

l

A2 — i

2X+I

3= 0 egyenlet három gyöke adja meg, hol 7

1

; I

2, /

3 a (9) (10) tenzor három invariánsa. Értékük a koordináta- számíthatók a (°"ll — ^í) • 9li + 0~12 • 92i + 0*13 • ^31 = 0 0-21 -9li + (°"

2

2—• 02Í + 0*23 • 9n = 0 0-31 • yii + o"32 • S^i + (0-33 — Ai)-g

s

i = 0 homogén lineáris egyenletrendszerhői. tengely helyzetétől függetlenül meghatározható az h = 0"ii + 0*22 + Vsa, I

2 = D\i + D22 + £33. /

3 = ||D|| (11) kifejezésből. A saját-értékek ismeretében a &(9h, 92.1, 9u) (i = 1, 2, 3) (12) saját-vektoroknak az általunk tetszőlegesen felvett koordinátarendszerre vonatkozó komponensei is (» = 1, 2, 3) (13) azaz 2 2 o

1 = o

2 4 Szórásnégyzetek, korrelációs együtthatók, izotrop turbulencia Láttuk, hogy a szórástenzor ismeretében a turbulencia saját-irányai és saját-értékei egyértelműen számíthatók. Ez a tenzor alkalmas azonban arra is, hogy segítségével meghatározzuk a különböző irányú sebesség-vetületek szórásnégyzetét. Bebizonyítható ugyanis az, hogyha az általunk tetszőlegesen felvett koordinátarendszerben egy irány egységvektora : e(cosa

1, cos a

2, cos a

3) (14) úgy a v vektor e irányú vetületének szórásnégyzete : t2 — e-D-e o o 2 2", cos a. cos a. íj i ' j (15) <'=1 jami a vektoranalízis szerint az e vektor D tenzor által meghatározott leképzésének e irányú vetülete. De fel lehet ezt a tenzort használni arra is, hogy segítségével kiszámítsuk bármelyik két, tetszőleges irányba eső sebességkomponens korrelációs együtthatóját. Belátható ugyanis az, hogy, ha e

/t(cosai

i

) cos a

2i, cos a

3

k) (16) e*(cos an, cos a

2

i, cos a

3j) jelöli azt a két egységvektort, melynek irányában vizsgáljuk a sebesség komponensét, úgy a két egyidejű komponens közötti korreláció e^-D-ez Qkl = V(e*-D.e

t)(ej.D.ei) (17) hol ét -D -e* és e; D -ej számítható a (15) egyenletből és 3 3 t=l ;=1 Oij COS Xik COS OCji (18) A turbulencia különleges esete az, amikor a szórástenzor saját értékei azonosak : Aj = A

2 = /

3; A (15) és (17) egyenlet alapján belátható azonban az, hogy ilyen körülmények között egyúttal a tér bármelyik irányába eső sebességkomponens szórásnégyzete is azonos a tenzor saját értékével, s bármelyik két, egymásra merőleges sebességkomponens független egymástól (más fogalmazásban : a tér bármelyik három egymásra merőleges iránya a szórástenzor saját-irányának tekinthető). A turbulenciának ezt a fajtáját e fontos, különleges tulajdonsága miatt külön névvel is illetik, izotrop turbulenciának nevezik. Ez a fogalom tehát a turbulencia pontbeli sajátságaival kapcsolatos, s a szórástenzor saját-értékei szempontjából jelent megkötést. A turbulens energia A mozgó víztömeg egy meghatározott pontjában uralkodó viszonyokat vizsgálva, foglaljuk össze az előbbi levezetésekben szereplő mennyiségek fizikai értelmezését. Mint tudjuk, a P ponton áthaladó egységnyi víztömeg mozgási energiája : [M(v)'+ vY = E

k + Ei (19) ahol Ek — — M

2(v) a pontban uralkodó közép2 sebességnek — a sebesség várható értékének — megfelelő mozgási energiát, s a turbulencia következtében jelentkező energia többletet, a turbulens energiát jelenti. Bebizonyítható az is, hogy = -ÍM (v») = i- <r

n + -i cr

2

2 + y (r

2

2(20) Ezek alapján pedig megállapítható, hogy a szórástenzor főátlójában levő tagok egy % szorzótól eltekintve megadják a turbulencia hatására fellépő v sebesség-eltérés egyes komponenseinél az egységnyi tömegre vonatkoztatott mozgási energia várható értékét.