Hidrológiai Közlöny 1962 (42. évfolyam)

1. szám - Vágás, I.: A Bolyai-Geometria vízszínduzzasztás-elméleti vonatkozásai

42 Hidrológiai Közlöny 1962. 1. sz. Vágás I.: A Bolyai-geometria vízszínduzzasztáselmélete esetben — ha a duzzasztási szint a permanens, állandó vízmozgási szinttel Q

3 vízhozam mellett éppen megegyezik — a duzzasztási vonal is változatlan marad (a

3=d

a). Ettől az utóbbi — kivételes — esettől eltekintve, a duzzasztási vonal egy ponton sem érinti vagy metsfci a neki megfelelő, permanens, állandó sebességű vízmozgáshoz tartozó vízszinvonalat, bár azt a duzzasztóműtől távolodva egyre inkább megközelíti. Ez a megállapítás az ugyanazon vízhozam mellett létesített különböző duzzasztási vonalak kölcsönös viszonylatában is fennáll. Mielőtt duzzasztáselméleti vizsgálatainkat tovább folytatnánk, célszerűnek tartjuk, hogy előzetesen röviden összefoglaljuk a Bolyai-geometria néhány leglényegesebb tételét, hogy későbbi fejtegetéseink könnyebben legyenek követhetők Ebben az összefoglalásban csak a továbbiak szempontjából fontosabb kérdésekre kiterjedően adunk vázlatos ismertetést. A részletesebben érdeklődők figyelmét felhívjuk az irodalmi jegyzékben [1] és [2]-vel jelölt könyvekre, amelyek közül Kárteszi Ferenc professzor munkája nyomán az [1] a mai szemléletnek megfelelő részletes jegyzetekkel is el van látva. II. A Bolyai-féle síkgeometria főbb tételei Bolyai János „Appendix" c. művében kidolgozott geometriája Euklidesz V. axiómájának (egyesek szerint : XI. axiómájának) tagadásán és más axiómával való helyettesítésén, egyúttal a többi axióma (az ún. maradék axiómarendszer) fenntartásán felépülő, önmagában ellentmondásmentes geometriai rendszer. Alaptótele a következő: (1, 2]. Ha a síkban adva az a jelű egyenes a rá illeszkedő A ponttal, és az a egyenesen klvülfekvő B pont (4. ábra), továbbá, ha a i?-ből A-n át metsző egyenest (b

0j bocsátunk az a egyenesre, majd a bo egyenest az óramutató járásával szemben B pont körül addig forgatjuk (b

v &

2 ...), mígnem (a -f P) = 180° (vagyis addig, amíg a bj egyenes az A pont környezetében euklideszi értelemben párhuzamos nem lesz a-val), akkor az elforgatás közben valamikor először fog előállni az a helyzet, hogy a b már nem metszi a-t. Az elforgatásnak ebben a helyzetében mondj Tik, hogy a Hl b, tehát a két egyenes Bolyai értelmezésében ekkor párhuzamos. A párhuzamosság állapotában természetesen: (a /?) si 180°. (Egyenlőség esetén az euklideszi geometriához jutunk.) A párhuzamosság Bolyai-féle értelmezéséből következnek az alábbiak: 1. Adott egyeneshez kívülfekvő ponton keresztül két párhuzamos szerkeszthető, (hiszen a 6 egyenes 4. ábrán szemléltetett elforgatását az óramutató járásáB --_ 6 a 1116 4. ábra. A Bolyai-geometria alaptétele. A b

v &

2, &

3 egyenesek metszik, a b

e nem metszi az a egyenest, b és b' „párhuzamos" vele <t>ue. 4. OcHoeHan meopeMa eeoMempuu Eonu. UpnMbie b

v b

2, b

3 nepeceKawm npnMyro a, AUHUH b ne nepeceKaem ee u b u b' napaAAeAbmie c neü Fig. 4. The fundamental theorem of Bolyai's geometry. The straight lines b

t, b, and b

3 intersect the straight line a, while b

e does not, and b' and b are parallel to a 5. ábra. a) A párhuzamossági szög és párhuzamossági távolság értelmezése torzított léptékű ábrán, b) A négyszög területének meghatározása Bolyai-geometria segítségével 0uz. 5. a) HcmoAKoeaHue yzAa napaAAeAbHocmu u napaAAeAbHoeo paccmoHHUH HÜ (pueype c ucKajtceHHbiM MÜCmmaőoM. b) OnpedeAenue tuoiifadu napaAAeAoipaMMbi c noMoufbw zeoMempuu Eonu Fig. 5. a) The definition of the parallelity angle and the parallelity distance by a distorted diagram, b) Determination of the area of the quadrangle by the aid of Bolyai's geometry val egyezően is elvégezhetjük, és akkor a b' is párhuzamos lesz a-val). 2. Adott egyeneshez képest kívülfekvő ponton át metsző, (a 4. ábrán b

0, b

v í>

2), párhuzamos (b ós &'), ós nem metsző (b

e) egyenesek rajzolhatok, ellentétben az euklideszi rendszerrel, ahol csak metsző és párhuzamos egyenesek vannak. 3. Adott a egyenes és B pont ismeretében megszerkeszthető vagy kiszámítható az ún. párhuzamossági szög (/?,, p

z. . .), vagy annak derékszögre kiegészítő értéke («,, e

2. . .), amely az a egyenessel Bolyai értelmezésében párhuzamos b egyenes állását jellemzi annak bármelyik pontjában (5/a ábra). 4. Meghatározható a párhuzamossági távolság (D), azaz a Bolyai-jellegű párhuzamosoknak különböző, egymással összetartozó pontokban értelmezett, korántsem mindenhol egyenlő távolsága. A párhuzamossági távolság a párhuzamosság iránya mentén fogy ós bármely kicsiny, előre megadott távolságnál kisebbe válik (5/b ábra). A párhuzamossági távolság változó voltát Bolyai János előtt több matematikus ellentétesnek minősítette az egyenes vonal természetével. Mint ezt az [1] előszavában Kárteszi Ferenc megjegyzi : az a tétel, hogy „ha két egyenes nem metszi egymást, akkor nem is közeledhet egymáshoz", az V. axiómából levezethető, vagy fordítva : a tétel elfogadása esetén az V. axióma már leszármaztatható. A párhuzamossági távolság változó volta tehát nem a tapasztalattal, az egyenes vonal természetével ellentétes, hanem csak a tapasztalat és az egyenes vonal természetének az V. axiómában megfogalmazott euklideszi értelmezésével áll ellentmondásban. A Bolyai-féle síkgeometria az új értelmezésű párhuzamosok mellett bevezeti a párhuzamosok izogonális társpontjainak, más néven korrespondeáló pontjainak, ezen kívül az L-vonalaknak (paraciklus) fogalmát. Ha adva két, a ós b jelű (Bolyai-értelmezósű) párhuzamos, akkor a 6-re illeszkedő B pontnak az a-ra illeszkedő A pont akkor izogonális megfelelője (az A pont akkor korrespondeál j5-vel), ha a = p (6. ábra). Ha egy síkon az a jelű félegyenessel párhuzamos bj, &

2. . . félegyenesek /1-hoz korrespondeáló pontjainak (B„ B„. . .) 4-val együtt alkotott összességét tekintjük, az így értelmezett vonalat az a tengelyhez tartozó paraciklusnak, más nóven L-vonalnak nevezzük