Hidrológiai Közlöny 1962 (42. évfolyam)

1. szám - Vágás, I.: A Bolyai-Geometria vízszínduzzasztás-elméleti vonatkozásai

Vágás I.: A Bolyai-geometria vízszínduzzasztáselmélete Hidrológiai Közlöny 1962. 1. sz. 43 (7. ábraj. Az L-vonal Bolyai értelmezésében „egyforma" (uniformisj vonal. Az L-vonalat tengelye mindig merőlegesen metszi. Egy tengely minden pontjához egyetlen L-vonal rendelhető. Ha az i-vonalat önmagán eltoljuk, úgy, hogy annak tengelye is az L-vonalhoz kötötten halad azzal együtt, a mozgó tengely bármelyik pontja paraciklust (L

v L

í. . . vonalj ír le (8. ábra). Az így származtatott paraciklusokat egymáshoz képest párhuzamos, vagy egyenlőközű paraciklusnak nevezzük. A párhuzamos paraciklusok minden normálisa közös, és két paraciklusnak a normálison mért távolsága mindenütt egyenlő. A paraciklus tetszőleges két ívének hányadosa bármely vele párhuzamos paraciklus megfelelő íveinek hánya7. ábra. A paraciklus (L-vonal) 0uz. 7. NAPAQUKJI (AUHUH L) Fig. 7. Paracycle (L tine) b, III b, NI b, r„ f" \ r) ft JC 'i ft 9t % L

0II L, II L, II L, 8. ábra. Segédábra a k paraméter értelmezéséhez 0ue. 8. Bcn0M0eamejibHasi (pueypa K ucmoAKoeaHuw napaMempa K Fig. 8. Auxiliary diagram for the definition of parameter k dósával egyenlő. Ebből : r, r, = — = const. e

2 (1) A paraciklus tetszőleges ívének ós egy vele párhuzamos paraciklus megfelelő ívének X-szel jelölt hányadosa ezért csak a paraciklusok közötti x távolságtól függ (8. ábra). r n r, X = — = — r, r„ (2)-ből azonban következik, hogy — = (üV = X* r

2 \r

2 J r„ r.r. (r„\

3 (r) = rz 3 S -l-t (2) (3a) (3b) Tetszőleges n esetében (bevezetve az r

0/r

n =K jelölést) 6. ábra. Az izogonális társpontok (korrespondeáló pontok) értelmezése 0ue. 6. McmoAKoeanue ü30Z0HanbHbix moien coiemanuü (KoppecnoHdupywufue moHKU) Fig. 6. Definition of the isogonal corresponding points a III b, III b, III b, III b, — ~ K. — Xt

t r

n Az nx távolságot &-val jelölve : K = X

k,

X (3c) (4) A paraciklusívek általánosan érvényes összehasonlítási lehetőségeinek megteremtésére állapodjunk meg abban, hogy K értékét mindig e = 2,718-nak választjuk. A K = e megválasztáshoz már nem tartozhat akármilyen, k hosszúság, hanem annak csak egy kitüntetett értéke. Ezt a kitüntetett k-t a Bolyai geometriai rendszer görbületi hosszának nevezzük, s mint ilyet, a Bolyai-geometria legfontosabb paramétereként tartjuk nyilván. Minthogy végtelen sok k érték lehetséges, ennélfogva végtelen sokféle Bolyai-geometriai rendszerről beszélhetünk. Ezeknek'a értékhez tartozó különleges esete értelmezi az euklideszi geometriát. Ez azt mutatja, hogy a Bolyai-geometria általánosabb az euklideszinél. A r

n ívet (8. ábra) általános jelleggel felruházva és r-rel jelölve, átalakítható a (2) és (4) egyenlet : r = r

0-exlk (5) Ez tulajdonképpen a Bolyai értelmezésű párhuzamosok egyenlete. A k paraméter értéke kiszámítható (ha a geometriai rendszerben egyetlen x távolsághoz tartozó X érték ismeretes) az (5)-ből származtatható k = • (6) r

0 ln X ln — r összefüggés segítségével. A Bolyai-geometria tételei teljes általánossággal vannak levezetve. Későbbi vizsgálataink számára azonban elegendő, ha csak a kis párhuzamossági kiegészítőszögek (5. ábrán: ej ós a k paraméterhez képest kis méretű paraciklusívek esetére szorítkozunk. Ekkor jogosult a tg S == E közelítés, valamint az r ^ D közelítés, ahol D a paraciklus húrját jelenti (5. ábra). Ennek értelmében : D = D

0-exIK (7) A (7) alapján tetszőleges x-hez tartozó D és e ismeretében is kiszámíthatjuk a k értékét. Ugyanis : tg e = AD amiből : dx k = = -~r-D

n-e

k = D D tg e D (8) (9) Az r

a Rá D„ hosszúságú paraciklusívvel azonosított paraciklushúr, a végpontjaiból kiinduló paraciklustengelyek (amelyek Bolyai értelmezésében párhuza-