Hidrológiai Közlöny 1962 (42. évfolyam)

5. szám - Vágás István: A Bolyai-geometriai talajvízszín-süllyesztés elméleti vonatkozásai

Vágás I.: A Bolyai-geometria vonatkozásai Hidrológiai Közlöny 1962. 5. sz. 403 9

t §t o C I „ L

0 ~ 90° f

z = 90° % - 90 VJJ % - 90°-3

a if-m°-0

a-3

b) <f-a-3„) T'kU 8. ábra. A négyszögterület akkor is arányos a szöghiánynyal, ha az l-vonal leszívások összetételéből származik 0ue. 8. nAOUfaőb nembtpexyeoAbHUKa HeAstemcn nponopifuonaAbHoü c HedecmamnoM yeAoe, ECAU AUHUH „l" npoucxoáum u3 cyMMupoeanuu denpeccuu Fig. 8. The area of the quadrangle is proportionate to the angle deficiency, evén if the line l is the resu.lt of rombined drawdowns felírható, hogy : ybi = y« 2 = ya 1 s UH s ahol a (6) és a (7) szerinti értelmezésben : S = e

kB ya = ?/«! + ya

2 = yax Vai Vb — Vb i r ?/ft

2 = S W>2 s - Vbi (17a) (17b) A (17) egyenletekben y

a

í és y,,» ismeretlenek egyértelműen meghatározhatók s ebből kiszámítható az összetett Z-vonalat előállító két egyszerű (Z

3 és Z

2) leszívási vonal minden jellemzője. A 8. ábrán látható ABCD négyszögterület két egyszerű a) alatt bemutatott leszívási négyszögterületből (T

1 és T.,) összeadással kapható. (13) alkalmazásával : T

1 = kjj • (I

a

i — hí) T

2 = k"n • (—h

2 + fg-j) T — T

l+ T

2 = k

2B- (la — Ib) = kS-ö (18) A (18) magyarázataként megjegyezzük, hogy az összeg tagonkénti differenciálásának törvényéből következően az összetevő leszívási vonalakon x-0 VCs>// AV/AV, T-k,

1-/ WW'W'W' (15a) (15b) (16) A g

1 és g

2 árkok együttműködésekor az önálló leszívások összegeződnek. (15) figyelembevétele után : T-T, -[T

tt T,J 9. ábra. A leszívási háromszög területének meghatározása <t>ue. 9. OnpedeAemie riAoufadu denpeccuouuoeo mpeyeoAbHuica Fig. 9. Determination of the area of the drawdoicn triangle mért esésértékek az eredő Z-vonal esetében előjelhelyesen összegeződnek, s a szöghiány (ő) értéke a 8. ábrán láthatókból tényleg (l

a—h)• Ezzel bebizonyítottuk, hogy a (14) egyszerű és összetett leszívási vonalakra egyaránt érvényes. c) a b) alattiak további általánosítása adja a leszívási háromszögek területének meghatározási képletét. Válasszunk három nem ugyanarra az Z-vonalra eső pontot (A, B, C). A három pontpár mindegyike egy Z-vonalat határoz meg, a három Z-vonal pedig leszívási háromszöget alkot (9. ábra). Az ábrából igazolhatóan, (18) alapján : T

3 = k'it • (I

a> T

2 == k% • (la2 • T

x = kjs • (I

C

I h

z) h

2) T = T

3 — (T

Í+T

1) = *Í-[(/.

s —/.

a) + (Ibi — Ibz) + (/«, — /d)] (19) Azonban a 9. ábrából láthatóan az / értékek helyére szögértékek helyettesíthetők, vagyis : T = k

2jt • [ 180° £ + y )] = kl-ö (20) Itt a ö nem a 360°-hoz hanem a 750°-hoz képest fennálló hiányt jelenti. Az azonos jelölés nem vezet félreértésre. Ezzel bemutattuk, hogy a leszívási háromszögek belső szögösszege 18(P-nál kisebb, területük pedig éppen ezzel a szöghiánnyal arányos, úgy, mint a Bolyai-geometria háromszögeinél. Megjegyezzük, hogy hasonlóan vezethető le a leszívási háromszögterület „koordinátás" kifejezése is. A végeredmény : T = ± k

B • | (ya + yb) -th + (yb + yc) Xa %b •th

3"

6,, X

r + (y

c -f y

a) -th'

1" " Xa 2k :B 2 k. (21)