Hidrológiai Közlöny 1957 (37. évfolyam)

4. szám - Szigyártó Zoltán: A hidrológiai események visszatérési ideje

328 Hidrológiai Közlöny 37. évf. 1957. 4. sz. Szigyártó Z.: Hidrológiai események visszatérése valószínűség a táblázat x = 5-üs oszlopának, s a p = 0,5-ös sorának kereszteződésében található. Ezek szerint tehát Mosonmagyaróváron a 605 mm-en felüli csapadékmennyiség visszatérési ideje 5 évnél 0,938, vagy más kifejezésmóddal 93,8 %-os valószínűséggel kisebb. Ugyanezt a feladatot a grafikon segítségével a következőképpen oldjuk meg: Az ábrázolt görbeseregből kikeressük azt a görbét, amelyhez a p = 0,5-ös érték tartozik. Meghatározzuk a görbének azt a pontját, amely az x = 5-ös érték függőlegesét metszi. Az így kapott pontot kivetítjük az ordinátatengelyre, s azon leolvassuk a valószínűség koresett értékét 0,938-at. P 2. ábra. A Pascal-eloszlás várható értéke és szórása Abb. 2. Wahrscheinlicher Wert und Standardabweichung der Pascalschen Verteilung Fig. 2. Expected value and scatter of the Pascal distribution A várható értékre és a szórásra kapott függvénykapcsolatok felhasználásának megkönnyítésére a p függvényében ábrázoltuk a különböző M (f) és I) (£) értékeket is. Ezeket az összefüggéseket a 2. ábrán tüntettük fel. Belőlük kiolvasható hogy minél nagyobb az A esemény valószínűsége, annál kisebb a visszatérés idejének a várható értéke, annál kisebb annak a szórása ; s így annál nagyobb bizonyossággal is számolhatunk a várható érték körüli értékek előfordulásával. Az eredmények értelmezése és alkalmazása A levezetett eredmények szerint tehát az esemény valószínűsége alapján következtetni lehet a visszatérési idő hosszára is. Nyomatékosan fel kell hívnunk azonban a figyelmet arra, hogy a közölt levezetés csupán abban az esetben érvényes, ha az esemény egyik évi bekövetkezése, vagy elmaradása a következő években nem befolyásolja a bekövetkezés valószínűségét. Egyszóval, ha az egymás utáni évek eseményei függetlenek. Éppen ezért a bemutatott összefüggések alkalmazása előtt a megfelelő matematikai statisztikai módszerekkel ellenőrizni kell a függetlenség feltételezhetőségét. Az utóbbival kapcsolatban külön meg kell emlékezni még arról az esetről is, amikor a függetlenség feltételének a helyessége megnyugtató módon nem igazolható. Természetesen nincsen akadálya annak, hogy a levezetés eredményeit ekkor is felhasználjuk. Ilyen esetben azonban ezeket csak fenntartással, közelítésként szabad elfogadni, s számítanunk kell arra, hogyha a függőség esetleg nagyobb mértékű, úgy képleteink teljesen megbízhatatlan eredményeket adhatnak. Befejezésül még két gondolatot szeretnénk felvetni az eredmények alkalmazási köréből. A matematikai statisztikában kevésbé járatosak számára a valószínűségek mindig kissé elvont fogalomnak tűnnek. Ezért a vizsgált esemény előfordulásának gyakoriságát szívesebben jellemzik azzal, hogy az hány évenként következik be ; vagy pontosabb kifejezéssel élve, hogy mennyi a vizsgált esemény átlagos visszatérési ideje. Az átlagos visszatérési idő számítására már régóta a most is levezetett >1 (f) = l/p összefüggést használják. A levezetés folyamán azonban most kitűnt, hogy a p valószínűségű esemény átlagos visszatérési ideje csak akkor lesz ljp év, ha az egymás utáni évek eseményei függetlenek. Tehát olyan eseményeknél, amelyeknél a függetlenség feltétele nem teljesül, a p valószínűségű esemény helyett nincsen jogunkban átlagosan l\p évenként visszatérő eseményről beszélni. A második megjegyzésünk is a függetlenségi feltételhez kapcsolódik. Az eloszlásfüggvény levezetésénél abból indultunk ki, hogy a rendelkezésünkre álló legutolsó évben a vizsgált A esemény bekövetkezett; s ennek figyelembevételével kerestük azt, hogy milyen valószínűséggel jelentkezik majd újból az azt követő első, második, ..., fe-ik évben. Tételezzük azonban azt fel, hogy a legutóbbi évben az A esemény nem jelentkezett; s tegyük fel a kérdést, a vizsgált esemény az említett körülmények között milyen valószínűséggel következik majd be először a következő első, második, ..., &-ik évben. Nyilvánvaló, hogy a feltételezett függetlenségi miatt az A esemény a következő első évben éppen úgy p valószínűséggel következik be, mintha a legutolsó évben az A esemény történetesen előfordult volna. Ez a függetlenség fogalmából önként adódik. Egyszóval a visszatérési idő eloszlásfüggvényének levezetésénél alkalmazott gondolatmenetet most is szóról szóra megismételhetjük, s végeredményül ugyanarra a Pascal-féle eloszlásra jutunk. Így a levezetett eloszlásfüggvény nemcsak a visszatérési idő hosszának, hanem — tetszőleges kezdő év mellett — a kérdéses esemény első jelentkezéséig tartó idő hosszának az eloszlását is megadja. Másszóval: a elvezetett eredményeket a következő év eseményének közvetlen előrejelzésére felhasználni nem lehet. Nem lehet azért, mert a feltételezett függetlenség miatt a bekövetkezés valószínűsége nincs összefüggésben az előző évek eseményeivel. Wiederkehrzeit hydrologischer Ereignisse Von Z. Szigyártó Die Abhandlung behandelt die Wiederkehrzeit von hydrologischen Ereignissen, die alle Jahre nur einmal vorkommen, wie z. B. der in einem bestimmten