Hidrológiai Közlöny 1957 (37. évfolyam)

3. szám - Kovács György: A mikroszivárgás elméleti vizsgálata

Kovács Gy.: A mikroszivárgás elméleti vizsgálata Hidrológiai Közlöny 37. évf. 1957. 3. sz. 215 három erőnek az egyensúlyi feltételét kell felírnunk : lylnr-i = 2 nrl^co — 17^j. (11) Helyettesítsük ebbe az egyenletbe az co-nak r-től függő értékét a (3) egyenlet szerint : lylnr* = 2 nrl j Q (r — rj—rj ^ j . (12) Ennek alapján a molekuláris erők által befolyásolt rétegben a sebesség sugárirányú elosztását az alábbi differenciálegyenletből számíthatjuk : = ~ r—Ür+ űrj dr. (13) Figyelembe véve azt a határfeltételt, hogy a cső falánál a sebesség zérus (ha r = r

0, akkor v = 0), az említett rétegben a sebesség eloszlása a következő : Iy ß ) (rl — r~) + 2 ür

i (r

0 — r) (14) A (9) egyenletben felírt feltétel szerint a cső sugarának (r

0) és a molekuláris erők által befolyásolt folyadék réteg vastagságának (Q) a viszonyától függően a mikroszivárgástj két tartományra bonthatjuk. A cső által szállított vízhozam meghatározását már ezeknek a tartományoknak a figyelembevételével végezzük el. Azt az intervallumot, amelyet a feszültségmentes térfogat hiánya jellemez, a következő egyenlőtlenség segítségével vehetjük figyelembe számításaink során : : is) r\ = ro — e < A két tartomány határán r

i = r

0—

e = 0. (16) Végül a feszültségmentes térrel rendelkező csövekre vonatkozóan érvényes az ri = r

0 — e > 0 (17) összefüggés. A vízhozam számítására a Hagen—Poiseuilleféle összefüggés levezetéséből már jólismert r° Q = 2 nrv dr (18) egyenletet használtuk fel. a) A teljes feszültség alatt álló és a feszültségmentes térfogattal rendelkező tartomány határesetének a vizsgálata A sebesség meghatározására a (14) egyenletben felírt összefüggés csak a (16) egyenlettel jellemzett határesetben alkalmazható további megszorítás nélkül. Ebben az esetben a Q érték egyenlő a cső sugarával, az r

1 érték pedig pedig zérussal, tehát a (14) egyenlet jobboldalának harmadik tagja is zérus lesz. A sebesség képlete tehát a következő : v -~± (Jz A cső által szállított vízhozam (19) Q11 f v •(20) Ez a vízhozam akkor lesz zérus, ha a jobboldalon levő, zárójelben álló két tag egymással egyenlő : hiY 2 = ü. (21) Mint azonban a későbbiekben látni fogjuk, a vízszállítás nem mindig abban az esetben szűnik meg, amikor az egyenlet alapján a Q érték zérusra adódik. Zérus érték ugyanis bekövetkezhetik akkor is, ha a sebességeloszlás a szelvényben úgy alakul, hogy mind pozitív, mind negatív sebesség jelentkezik. Ilyenkor a negatív sebességnek megfelelő visszaáramló vízhozam egyenlővé válva a pozitív értelmű vízszállítással, az összegük zérussá válik. Fizikailag vizsgálva azonban a kérdést, megállapíthatjuk, hogy visszaáramlás nem lehetséges, mert a molekuláris erő passzív, a mozgást létrehozó nehézségi erővel szemben áramlást nem okoz, csupán a létrejött mozgást igyekszik fékezni. Ezért mind a (14) sebesség képletet, mind a belőle számított vízhozamot korlátozás nélkül csak addig a határig fogadhatjuk el, amíg a sebesség a szelvényben egy pontban sem válik negatívvá. Ettől a határtól kezdve a vízszállítást úgy számolhatjuk, hogy a sebességábrának csak a pozitív tartományát vesszük figyelembe, míg a negatív szakaszon mind a sebességet, mind a vízhozamot zérusnak tekintjük. A Q = r

0 esetben közvetlenül beláthatjuk, hogy a (21) egyenlőség fennállása esetében a (19) összefüggéssel meghatározott sebesség az r értéktől függetlenül minden esetben zérus lesz, tehát negatív érték nem jelentkezik mindaddig, amíg az esés nem csökken az 7

0

1 érték alá. így a (19) és (20) összefüggés minden y l01 esésre értelmezett és a vízszállítás a (21) egyenletben kifejezett összefüggés fennállása esetén szűnik meg. / Ha Q = r

u, akkor r

i = 0, tehát a (4) egyenlet a következő alakban írható : ü = Oh) Ennek és a (21) egyenletnek az összevetéséből láthatjuk, hogy a vízszállítás valóban a (10) egyenletben felírt határesés bekövetkezésekor szűnik meg, azaz = hi- (22)