Lánczos Kornél 1893-1993 - Megyei Levéltár közleményei 15. (Székesfehérvár 1989)

Lánczos Kornél: A tudomány, mint a művészet egyik formája

Az első sorban van az összes természetes szám, 1, 2, 3... a végtelenségig. Aztán jön a második, harmadik, negyedik sor, meg a többi, és mindegyik végtelenig megy. Azt gondolhatnánk, hogy végtelenszer több tört van, mint ahány természetes szám. Cantor azonban megmutatja, hogy az összes törtet összepárosíthatjuk a természetes számokkal úgy, hogy semmi sem marad ki: egy tört, egy természetes szám, véges végig. E célból nevezetes „átlós elrendezését" használja, amelyből világosan látszik, hogy minden törtet egyszer és csak egyszer számolunk. így az összes tört számossága nem haladja meg a természetes számok számosságát. Cantor megszámlálható halmaznak nevezi azt a halmazt, amely a természetes számokkal párosítható. Átlós elrendezése megmutatja, hogy a törtek összessége megszámlálható halmaz és így nem számosabb mint a természetes számok összessége. A törtek azonban a számok egy nagyon speciális halmazát alkotják. Itt van például \[l, amit nem lehet két egész szám hányadosaként fölírni, és ezért irracionális számnak nevezik. Ez csupán a számoknak egy igen széles osztályából vett nagyon speciális példa volt. Ezt az osztályt a következőképpen jellemezhetjük: egy közönséges törtet definiálhatunk úgy, mint az ax+b = 0 egyszerű egyenlet megoldását, ahol a és b adott egész számok. Ugyanúgy tekinthetjük az