Lánczos Kornél 1893-1993 - Megyei Levéltár közleményei 15. (Székesfehérvár 1989)

Lánczos Kornél: A tudomány, mint a művészet egyik formája

ax

2 + bx + c = 0 másodfokú egyenlet által meghatározott x számokat is, ahol a, b, c egészek. így olyan számokat kapunk, mint példáuly^. Ezt folytatva az x számot az ax

5 + bx

2 + cx+d - 0 harmadfokú egyenlet megoldásaként definiáljuk, ahol a, b, c, d adott egészek. Ezt az eljárást folytatva a tetszőlegesen magas fokú egyenletekig eljutunk. Az így definiált számok roppant sokaságát „algebrai számok" osztályának nevezzük. Milyen sokan vannak ezek? Számosabbak-e mint a természetes számok? Mint Cantor megmutatta, nem - ugyanis ismét meg tudjuk mutatni, hogy az ilyen számok megszámlálhatok, azaz egy-egy értelműen hozzájuk lehet rendelni az 1, 2, 3, 4, 5... természetes számokat. Rendben van, tehát bizonyára az összes lehetséges szám vagyis, hogy egy egyenes minden pontja - megszámlálható? Tudjuk azonban, hogy vannak olyan számok, amelyek semmilyen egész együtthatós algebrai egyenletnek nem megoldásai. Ilyen például a híres n szám, amely a kör kerületében jelenik meg, vagy a felsőbb matematika e száma, vagy 2 logaritmusa és még sok más. Mit mondhatunk az ilyen számokról? Többékevésbé kivételek-e, valamiféle csodabogarak, vagy pedig napirenden lévő dolgok? Ezeket a számokat is felírhatjuk végtelen tizedestört alakban, például: 71 = 3,1415926535... e- 2,7182818284... log2 = 0,6931471805... Cantor megmutatta, hogy ezek a számok valójában végtelenül számosabbak az algebrai számoknál, olyannyira, hogy ha egy végtelenül vékony tűvel kijelölünk egy pontot egy egyenesen, akkor annak a valószínűsége, hogy egy algebrai számot találunk el, nulla. A 0 és 1 közötti pontok kontinuuma nem megszámlálható. Nem lehet őket úgy elrendezni, hogy megszámlálhassuk: első, második, harmadik ... anélkül, hogy végtelen sokat kihagynánk közülük. Az algebrai