Lánczos Kornél 1893-1993 - Megyei Levéltár közleményei 15. (Székesfehérvár 1989)

Schipp Ferenc: A Lánczos-algoritmus

A Lânczos-féle algoritmus. Tetszőlegesx

í} y

í e R

N vektorokból kiindulva az alábbi másodrendű rekurzióval képezzük az (7) (k = 1, 2, AO (* = 1, 2, N- 1). Az algoritmussal kapcsolatban érvényes a következő: ha (

x

k> yk) * 0 (& = 1, 2, Af-1), azaz ha az algoritmus végrehajtható, akkor i) az x

k

(k= 1, 2, AO és azy

k

{k = 1, 2, AO rendszerek biortogonálisak: (x., yp =0 1 < U <A0; Nyilvánvaló, hogy ha szimmetrikus, azaz F = F*, akkor az x-ekre és j;-okra vonatkozó rekurziós egyenletek egybeesnek, következésképpen a két sorozat is, ha x

x = y

v Az állítás első része pontosan azt jelenti, hogy a rekurzióval kapott rendszer ortogonális. A (4) egyenleteket mátrix alakba átírva, egyszerű és jól használható összefüggés adódik az itt fellépő paraméterek között. Jelöljük 5-sel âZ OC j • • • j Od yy oszlopvektorokból alkotott mátrixot és T-vel az alábbi tridiagonális mátrixot: T = Yi 0 . . 0 0 1 ß

2 Y

2 • . 0 0 0 1 ß

3 . . 0 0 0 0 0 1 ß»