Lánczos Kornél 1893-1993 - Megyei Levéltár közleményei 15. (Székesfehérvár 1989)
Schipp Ferenc: A Lánczos-algoritmus
Ekkor a rekurziós formulák (9) figyelembevételével átírhatók a következő, az eredetivel ekvivalens alakba: FS-ST. (11) Ha R-rel jelöljük az y x y N oszlopvektorokból alkotott mátrixot, akkor az említett biortogonalitás pontosan azt jelenti, hogy SR* diagonális mátrix (x n , y n ) (n = 1, AO diagonális elemekkel. Ebből következik, hogy az S mátrix invertálható és az inverze i?*-nak és az említett diagonális mátrix inverzének a szorzata. Alkalmazási lehetőségek. A (11) egyenlőséget felhasználhatjuk lineáris egyenletek megoldására. Hasonlóan a (3) esethez, az Fx= b egyenletrendszer helyett - bevezetve az x = Sy jelölést - áttérhetünk az FSy = STy = b, x = Sy, illetve a Ty = S~ l b = b', x- Sy rendszerekre. Azt a tényt, hogy Ttridiagonalis, kihasználhatjuk a Ty = b'egyenlet megoldása során. Több olyan algoritmus ismert, amellyel ez az egyenlet megoldható és ezek műveletigénye az N-nel arányos. Eredményesen alkalmazható a Lánczosféle algoritmus sajátérték-problémák megoldásában. Emlékeztetünk arra, hogy a X komplex számot az A mátrix sajátértékének nevezzük, ha létezik olyan x ï 0 vektor, hogy Ax = Xx. Az x vektor (a X sajátértékhez tartozó) sajátvektor. A sajátértékproblémát gyakran úgy oldjuk meg, hogy az A helyett egy hozzá hasonló, de egyszerűbb szerkezetű Tmátrixöt tekintünk. Akkor mondjuk, hogy az A és T egymáshoz hasonló, ha létezik olyan Sinvertálható mátrix, hogy ^45" = ST. A Lánczos-féle algoritmust felhasználva az A-ra vonatkozó sajátérték probléma visszavezethető a TTridiagonális mátrix sajátérték problémájára. Ez utóbbi sok esetben egyszerűbben oldható meg. Például szimmetrikus mátrix esetén, amikor a sajátértékek egyszeresek, az úgynevezett Sturm-sorozatokra vonatkozó tulajdonságokat jól lehet használni a sajátértékek megkeresésére. Megjegyzések. a) Mivel minden konkrét számításkor kerekítési hibák lépnek fel, ezért a Lánczos-féle algoritmussal kapott vektorokra a
