Lánczos Kornél 1893-1993 - Megyei Levéltár közleményei 15. (Székesfehérvár 1989)

Schipp Ferenc: A Lánczos-algoritmus

képletek alapján határozzuk meg és xaz identikus leképezés. A most ismertetett rekurzió alapján az első Nortogonális polinom kiszámításához A

r-nel arányos számú skaláris szorzatot kell kiszámítani, míg az általános Gram-Schmidt-féle eljárásnál ez a szám N

2-te\ arányos. A Lánczos-féle módszer. A módszer alapötlete - a korábban bevezetett jelöléseket használva - a következő: az F mátrix oszlopvektorai helyett induljunk ki az / Ff, F

2

f F

N

~

X

f (6) vektorokból, ahol fe R

N tetszőleges, a nullvektortól különböző vektor. Megmutatható, hogy igen általános feltételek mellett ez a rendszer lineárisan független. A szóban forgó vektorok által kifeszített tereket, amelyek a matematika több fejezetében is fontos szerepet játszanak, az orosz nyelvű szakirodalomban Krülov-féle tereknek nevezik. Szimmetrikus F mátrix esetén a (6) vektorokra alkalmazva az ortogonalizációs eljárást, a kapott ortogonális rendszer az ortogonális polinomokhoz hasonló másodrendű rekurziónak tesz eleget. A most vázolt algoritmus helyett annak egy kissé általánosabb, nemcsak szimmetrikus mátrixokra alkalmazható változatát ismertetjük.