Állami gimnázium, Eger, 1907

— 53 —

Ha az OA' = x abscissza Ax —A'ß'-ve 1 nő, akkor a keresett síkrész területe A'B'BA = -vei nő. Minél kisebb Ax, annál inkább mondhatjuk az előbbiek értelmében, hogy Az = Ax. CC'; hol CC valamely az A A' és BB' ordináták közt fekvő jordináta,

vagyis ^ = CC. Ha pedig a határra térünk át, akkor ^ = y =/(x)

vagyis dz =/(x) dx. A keresett terület tehát az x függvénye, még pedig oly függvénye, melynek differenciáléja dz=f(x)dx. De akkor maga a terület z= j f(x)dx-\-C. Hogy a kérdéses területet megkapjuk, még csak az integráció állandójának meghatározása van hátra, ami a következő meggondolás alapján történik. Világos, hogy ha x = o, akkor z is = o, mely értékeket a fentebbi egyenletbe téve: 0=J f(o)dx-\-C, tehát C =—Jf(o)dx, vagyis C értékét úgy kapjuk meg, ha az f f(x)dx értékét kiszámítjuk, s abba x = o-1 helyettesítünk és az igy nyert értéket ellenkező előjellel vesszük.

Az eddigi tárgyalások alpján most már igen egyszerűen meghatározhatjuk az A A’ B' B (20 ábra), vagyis azon síkrész területét, melyet az abszcissza tengely, az A A' és B B' ordináták és az y=/(x) görbe AB íve határolnak.

E terület az ODBB' és ODAA' területek külömbsége. De az ODBB' síkrész területét az

l/(x)dx szolgáltatja, ha a tényleg kiszámított integrálba x = b-1 helyettesítünk, az ODAA'síkrész területét pedig ugyanazon integrál az x = a helyettesítésnél. Ha

20. ábra.

tehát J f (x)dx = F(x) + C, akkor:

AA'B'B terület =

= F(b)

F(x) + C

F(x) + C

x = b

C - F (a) - C, vagyis AA'BB' terület = F (b) — F(a), mivel az integrácix állandója a kivonás után elmaradt.

Ezen külömbséget az /(x) a-tól 6-ig terjedő határozott integ-