Állami gimnázium, Eger, 1907

— 52 —

d(uv) dv , du

dx dx ' dx

vagy a differenciálékra térve át:

d (u v) = u dv -|- v du,

honnan mindkét oldal integrálása után kapjuk, hogy wv = j u dv -f- j'v du, vagy

j‘udv = uv— fv du.

Az integrálásnak ezen képletben kifejezett módszere a parciális integrálás módszerének neveztetik. Alkalmazására lássuk a következő példát:

Hogy az j‘ x sin xdx értékét meghatározhassuk, legyen :

x ==-- u és sin x dx = dv, ekkor dx = du és — cos x — v,

tehát J xsin x d x = — xcosx-^J cos xdx = — xcosx-\-sin x-j-C.

XX. A határozatlan és a határozott integrál értelmezése kapcsolatban annak geometriai jelentésével.

Legyen DB görbe egyenlete y~ f(x) (19. ábra) s tűzzük ki feladatul azon ODAA' síkrész területének (z) meghatározását, melyet a koordináta-tengelyek, az A A' ordináta és az adott görbe DA íve határoznak. Bontsuk fel e célból a kérdéses területet az ordináta-tengely- lyel párhuzamos egyenesekkel vékony sávokra. Minél vékonyabbak az egyes sávok, annál kisebb hibát követünk el, ha egy-egy sáv területét egyenlőnek vesszük oly parallelogramm területével, melynek alapja a megfelelő sáv alapja, magassága pedig a sávot határoló ordináták közt fekvő, valamely közbenső ordináta. Ha pedig a sávok szélessége végtelen kicsi, akkor a végtelen sok végtelen vékonyságú sáv összege éppen a kérdéses területet adja. De ezen végtelen sok végtelen kis összeadandó összegét az integrál fogalmának ismerete alapján igen egyszerűen meghatározhatjuk. Okoskodjunk ugyanis a következőképen: