Állami gimnázium, Eger, 1907

XIX. A szubsztitúció és a parciális integrálás módszere.

Nem célunk a következőkben a külömböző integrálok meghatározására szolgáló, sokszor eléggé bonyolult általános módszerekkel foglalkozni. A mennyiben ugyanis csak az integrálszámítás elemeinek tárgyalására szorítkozunk, beérhetjük a címben említett két módszer tárgyalásával, mivel a következőkben csak azok fognak alkalmazást találni. Tájékozásul azonban megjegyezzük, hogy az integrálás művelete korántsem oly egyszerű, mint a differenciálásé. Igen sok integrál meghatározása bizonyos nagyobbfokú leleményességet kíván, sőt számos integrál van, melynek meghatározása mindezideig még nem sikerült. Lássuk most már az említett két módszert:

1. Sokszor lehetséges a keresett integrált az által, hogy az ntegráljel alatt előforduló változó helyett valamely alkalmas szubsztitúcióval új vál/ozót vezetünk be, valomely egyszerűbb, esetleg már ismert integrálra visszavezetni. Ezen módszer a szubsztitúció módszerének neveztetik.

Ha pl. a meghatározandó integrál: J (a-\-bx)n í/x volna, akkor a következő szubsztitúció alkalmazásával érhetünk célt:

dv

a -j b x = y, tehát b d x dy és így d x — ennélfogva:

Más példa : Meghatározandó a következő integrál: — 2

Legyen x = ay, akkor x2 = a2yi és dx = ady, tehát:

2 A parciális integrálás módszerének megértésére induljunk ki a szorzat differenciálhányadosából. Mint a II. fejezőiben bebizonyítottuk :

j{a + bx) ndx=f yn T~lfyndy~b(n+ 1)+C~

b{n+ 1)

3a*