Állami gimnázium, Eger, 1907
15 — Ha most a limesre térünk át, vagyis Ax-et zérussá tesszük, akkor annak összes magasabb hatványai is zérussá lesznek, tehát |L_ífel) = ra^, 1) dx dx így pétdául x2 differenciálhányadosa 2x, x3-é: 3x2, x4-é: 3 x3 .......x differenciál hányadosa 1. a mi könnyen belátható, mert x + A x—x _ Ax dx Ha ii = 5x3 —4x2 -4- 3 x—2, akkor —— = 15x2 — 8x -|- 3 dx Mivel a binomális képlet a VIII. osztályban végzett tárgyalásaink szerin csakis pozitív egész számú kitevőre vonatkozott, a hatvány differenciálhányadosának képzésére levezetett szabály is csak akkor érvényes, ha a kitevő pozitív egész szám. A következőkben e szabályt általánosítani fogjuk, azaz érvényességét kimutatjuk azon esetre is, ha a kitevő negativ, illetve törtszám. Ha n negatív egész szám, azaz n = —m, akkor xn=-'-, me'y függ* vény differenciálhányadosa a hányados differenciálására vonatkozó /n x m—* szabály szerint-------s-—=—mx~m~l ha P l. Ha y = x’ akk°r íaÍ = dy dx b . c d e .. dy b 2c . 3d 4e y = a — - 4- —-----5-----7, akkor -f =-,-----7 -\—r----*• ^ x x2 Xs x4 dx x2 x2 x4 x6 Ha végül a kitevő törtszám, vagyis n = — , mikor is a függvény: 7 P_ y = \q, akkor szabályunk helyességét a következőkép bizonyíthatjuk : Mivel yv = xp , azért (y -j- Ay)i — x® = (x -f- A x)p — xp , ezen egyenlet mindkét oldalát Ax-szel osztva és a baloldalt még A11 57 = ,"gyel megszorozva: (y + Aj/)g— yo J y A y (x —(- A x)p — xp Ax Ax
