Állami gimnázium, Eger, 1907
10 Ha az x-nek más és más értéket tulajdonítunk, akkor az /' (x)-nek is más és más értéke lesz, vagyis az /'(x) is függvénye az x-nek. Az /'(x) függvényt azt y=f(x) leszármaztatott vagy derivált függvényének nevezzük. Ha tehát y=f (x), akkor ^=/'(x). mely egyenletet még ily alakban is írhatjuk: dy=f'(x)dx, hol a dy-i és dx-1 úgy tekinthetjük, mint minden határon túl kisebbedő végtelen kis mennyiségeket, űfx a változó differenciáléja, dy pedig a függvény differenciáléja és igy mivel dy = f(x)dx, mondhatjuk, hogy a függvény differenciáléja egyenlő a differenciálhányados és a változó a differenciáléjának szorzatával. Állapítsuk most meg a differenciálhányados geometriai jelentését általános esetben is. Ha az y =/(x) folytonos függvény, azaz olyan, hogy a független változó végtelen kicsiny növekedésének vagy fogyásának a függvény végtelen kis változása felel meg, akkor a függvény geometriai képe is folytonos görbe vonal. Mi főképen ily függvényekkel fogunk foglalkozni. — Legyen az y=/(x) függvény geometriai képe az AB görbe. (5. ábra.) E görbe tetszőleges P, pontjának koordinátái (x, y), P 2 pontjának koordinátái pedig (x-j- Jx, y -\-áy). Ha P1 pontból az abszcissza tengelylyel párhuzamost rajzolunk, mely P 2 ordinátáját Q-ban metszi, akkor P1P2Q háromszögből a P1P2 szelő Jy 5. ábra. hajlásszögének tangense tg a t A x Ha most P2 pont minden határon túl közeledik Pt-hez, akkor azon határesetben, midőn P2 pont a P^gyel összeesik, vagyis midőn A x zérussá lesz, a szelőből érintő lesz, mely érintő hajlásszögének tangense A y dy hm r^- = -rL- jx-o Ax dx tg a Ha tehát az y=f(x) függvényt grafikailag ábrázoljuk, akkor ^ vagyis az y. függvény differenciálhányadosa az x helyen azon szög tangensével egyenlő, melyet a görbe (x, y) pontjában vont érintő az X tengely pozitív irányával bezár. Nem lesz érdektelen még a differenciálhányados mechanikai
