Ciszterci rendi katolikus gimnázium, Eger, 1940
9 Vizsgálódásunk tárgyául legcélszerűbb 3-oldalú csonkagúlát felvenni. Az 1. ábrából látható, hogy a keresett Ili. alapú gúla alapját valamelyik oldallap egyik átlója s az átlóhoz tartozó fedőéi és oldalél által határolt háromszög adja meg. Jelen esetben legyen ez a (d,a,f) A. Vizsgáljuk meg, milyen feltételek mellett lehet a d, a és / oldalakkal bezárt A az (A,B,C) alap és (a,b,c) fedőlap mértani közép- arányosa. Az (Ä,BjC) és (a,b,c) hasonló háromszögekhez az a, d és / oldalak által alkotott háromszög hatféleképen hozható hasonlósági viszonyba. Vegyük sorba az eseteket! 1. Legyen (A, B, C) A (a, d,f) A ~ (<?, b,c) A. Ekkor a hasonlóság alapján: a:d:f—a:b:c; amiből következik, hogy d—b\ /= c. A mértani középarányos fogalma szerint: a2 —a .A; d2 = b .B,\ f2 = c. C; ami az előbbiek szerint csak úgy lehetséges, ha a — A; b = B; c — C. így tehát nem kapnánk csonkagúlát, hanem hasábot. 2. Legyen (AB, C) A oo (a,f, d) A (a, b,c) A. Ez esetben a:f:d=a:b:c; amiből következik, hogy f=b; d=c. A mértani középarányos fogalma szerint a2 = a. Ä; f2 = b.B; d2 = c .C; ami szintén csak úgy lehet, ha a = A; b — B; c= C; újból hasábot kapnánk csonkagúla helyett. 3. Legyen (A, ÄC) A ^ (d, a,f) (a> b,c) A. A hasonlóság alapján a:b:c = A:B:C; a mértani középarányos értelmében A^_ _d C _ L d t a a b ’ f c Mivel A _ a _ B B b a azért B2 = a.A; másrészt d2 = a .A A két egyenlőségből következik, hogy d=B. A B2 — a.Ä egyenlőségből —* mivel természetszerűleg a < A — következik, hogy
