Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1989. 19/8. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 19)

Orosz Gyuláné: Közös elemek lineáris rekurzív sorozatokban

diofantikus egyenletnek, ha D>0 és D nem teljes négyzet, legfeljebb két megoldása van (lásd Morde 1.1 II ti, 270. oldal >, ezért legfeljebb két (u;v) párra teljesülhet (íí) ugyanis 8D+'1D

2=C 2D+2) 2—<l nem teljes négyzet. Ebből azonban az következik, hogy az (5) egyenletrendszernek is p~2 esetén legfeljebb két megoldása van, amiből az előzőek miatt következik a t.étel állítása a p=2 esetben. A következőkben azzal az esettel foglalkozunk, amikor p>2 prímszám. Az előzőek alapján tudjuk, hogyha Cx;y;z) egy megoldása az (5) egyenletrendszernek akkor Có) is fennáll és (x;y;z) egy primitiv megoldása (6)—riak. Itt. is bizonyítható az ismert Fitagoraszi egyenlet megoldásához hasonlóan, hogy a (6) primitiv megoldásai, p>2 esetén (9) x = J pm

2-n

2 | ; y=2mn ; z=pnt

z+n

2 vagy (10) x = pu

2-v

: T~ —

P»

?tv

7 ; y=UV ; z = ' 2 alakúak, ahol (m,n)=l és különböző paritásu egész számok és (u,v)=l, páratlan egész számok. Deirva ezeket. az (5) egyenletrendszer első egyenletébe (9) esetén [pm

z-n

2j

2 - 4Dm

2n

2 » 1 mig a (10) esetében (

p

UV

T - Du

2

v

2 = 1 adódik. Ezek azonban i > \ / / (11) ^n

2-(p+2D)m

2J

2- jlD

2+4pDjm* => 1