Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1989. 19/8. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 19)

Orosz Gyuláné: Közös elemek lineáris rekurzív sorozatokban

C12) {Yl^^insáy _ (

D

2 + PD)U< - 1 alakra hozhatók, ahol belátható, hogy sem 41>

2+/1 pb, som D

2 + pl> nem teljes négyzet. l)e Cll) és C12) egyenleteknek mint már láttuk, legfeljebb 2-2 megoldásuk lehet, igy az C5) t. egyenletrendszernek legfeljebb négy egész megoldása lehet. Ebből már következik a tételünk p>2 esetre vonatkozó ál 11 t.ása. 2. TÉTEL BIZONYÍTÁS

A. AZ előző tétel bizonyításában követett gondolatmenethez hasonlóan belátható, hogy ha vannak a H és K sorozatoknak közös elemeik, akkor a Cl3) x

2—Ly

2 » 1 z

2-CL+lö)y

2 » 1 egyenletrendszernek legalább annyi Cx;y;z) egész megoldása van, amennyi a közös elemek száma. Tegyük fel, hogy Cx;y»z) megoldása a C13) egyenletrendszernek. Ekkor ezekre az x.y,z egészekre Ci4) x

2+16y

2 = z

2 is fennáll és L párossága miatt könnyen igazolható, hogy Cx;y;z) a Cl4) páronként relativ prim, primitiv megoldása. Az viszont jól ismert, hogy C14) primitiv megoldásai x - |m

2-n

2| , 4y = 2mn , z « m

2+h

2 alakúak, ahol m,n relativ prím egész számok és különböző paritásuak. Beirva eZeket az értékeket a C13) egyenletrendszer első egyenletébe felhasználva, hogy L alakja L = 8h Ch pozitív egész, h*0 ), jm

2-n

2]

2 - 2 hm

2n

2 = 1 adódik, ami C15) |m

2 - Ci+lOn

2]* - [h

2+2h]n* « 1