Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1989. 19/8. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 19)

Kiss Péter — Bui Minh Phong: Reciprocal sum of prime divisors of Lucas numbers

I 2 , íl+/_5 I

2" - ofl+V

7^]^ . n " t 3 J * J • n^T • N^n melyből a Lemma állitása nyilvánvaló. I. + 2C-1Í

1 2 n 1. TÉTEL BIZO

NYÍTÁSA. Tételezzük fel, hogy ÍAL ,L +B. ™— ^ ^ ^ n' 2n * L

2r

i+cJ minden n,M) páros egészre megoldása az x

2+y

2«z

2 egyenletnek, vagyis [

A

L

nj +[

L

2

n

+

B) = [

L

2

r,

+

G] • Lemmánk alapján L +B = L

2+B-2 és L +G = L

2+G-2, igy az 2 n n 2r. n > a J egyenlethez jutunk, melyet (3) L

2 [A

2+2B~2G] ® [c+B-«lJ j^c-nj alakra hozhatunk. Mivel C35 minden »SO páros egészre fennáll és L »*0, ezért az A

2+2B-2G*0 és CG+B-/1) CG-B)^0 n ' egyenlőségeknek kell teljesülni. Nyilván G>B, igy ez csak B = [§] +2 és G - I2] +

2 esetén lehetséges, továbbá A,B,C egész volta miatt szükséges, hogy A páros szám legyen. Ha L

2

i+GJ minden páratlan n?"l egészre pitagoraszi számhármas, akkor lemmánk segítségével a következőket Írhatjuk: [

A

Ln]M

Ln*

B+

2r " (

Ln

+C+

2]

2' melyből az C4> L

2 £A

2+2B—2cJ «= (c+B+4] jc-BJ adódik. Mivel C4) minden páratlan nSrl — re Igaz, és L ,