Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1989. 19/8. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 19)

Kiss Péter — Bui Minh Phong: Reciprocal sum of prime divisors of Lucas numbers

- 57 és az x

2+y

2~z

a dlofantoszl egyenlet alapmegoldásait vizsgálva Jutott el az ikerprim-probléma epy á tfogaimazásához. A Lucas sorozat és a pitagoraszi számhármasok kapcsolatára vonatkozó problémát vet fel H.T.Freitag t31-benr Mely n-re lesz a (2L n

> i2

n~3, ,

n~l ] számhármas pitagoraszi számhármas? Ezen dolgozat tárgya e felvetett probléma egy lehetséges általánosítása s annak — az alapmegoldások meghatározását is tartalmazó — megoldása. II. Legyenek Á,B,G CAf^O) tetszőleges, de rögzített egész számok. I. TÉTEL Az ÍAL ,L +B, L +C[ számhármas pitagoraszi "••*•' n* 2n ' ín J számhármast alkot minden páros n^O -ra akkor és csak akkor, ha A a O írnod 2), B « ~ [j]

2+2 C ** (§] ^> m

i£ minden páratlan n^i -re akkor és csak akkor, ha A = 0 (mod 2), B « -(£]és C » • 2

. Tél E

L Az 1. Tétel feltételeinek megfelelő (a!,\.

sJ r+B, h

2

n

+CJ számhármas akkor és csak akkoi- alapmegoldás, ha K> *> > 7 é

S ha A = 0 Cmod 4>, akkor n 3 ± 2 (mod 6) vagy n = ± i (mod 6> ha A 55 2 (mod 45, akkor n s 0 Cmod ő) vagy n s 3 Cmod 6>. , A tételek bizonyításához szükségünk van a következő lemmára. LEMM

A

: L„ « L

2+2. ha n £ 1 páratlan és —'—— 2 n n ' r » L

7-2, ha n £ 0 páros egész szám. 2 n n ' 1 0 BIZONYÍTÁ

S: A Lucas számok Ci3-beli explicit alakját használva