Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1987. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 18/11)

Bui Minh Phong: Kapcsolatok a különböző típusú lucas pszeudoprim számok között

- 58 azokkal az n összetett számokkal, amelyek egyidejűleg kielégítik az (1), (2) és (3) kongruenciákat. Ilyen tulajdonságú összetett számokat teljes Lucas pszeudoprimeknek nevezzük és halmazukat CP CA,B3 -vei fogjuk jelölni. DUPARC (1955) bizonyította, hogy az (1), (2) és (3) kongruenciák lineárisan fügőek (mod n), vagyis ha egy n összetett egész esetén az (1), (2) és (3) kongruenciák közül bármely kettő teljesül, akkor a harmadik kongruencia is teljesül. A Lucas pszeudoprim számok körében egyik nyitott probléma az, hogy a teljes Lucas pszeudoprim számok halmaza, vagyis CP [A

?B3, végtelen-e? Ez a probléma nehéznek tűnik. Például abban a speciális esetben, amikor A=5 és B=6, az n <s CP [3,6] állítás egyenértékű azzal, hogy n egyidejűleg kielégíti az 2

n~

1 h= 1 (mod n) és 3

n~

1 = 1 írnod n) kongruenciákat. Még nem tudjuk, hogy a fenti kongruenciák teljesülneke végtelen sok összetett egészre (lásd ROTKIEWICZ (1972/a), 23. probléma), az azonban ismert, hogy a 25.10

9 -nél kisebb számok között 4709 darab ilyen tulajdonságú n természetes szám létezik (lásd pl. POMERANCE, SELFRIDGE, WAGSTAFF, Jr. (1980)). ROTKIEWICZ (1972/b) bizonyította, hogy ha R(A,B) nem degenerált Lucas sorozat, amelyre B=1 vagy B=-l, akkor végtelen sok teljes Lucas pszudoprim szám létezik, vagyis CP CA,± 1] végtelen halmaz. Ezt az eredményt egy korábbi cikkben, illetve egy P.KISS és E.LIEUWENS szerzőkkel közösen írt dolgozatban megjavítottuk, bizonyítva, hogy tetszőleges a,s > 1 és A egészek esetén CP [A,± 13 végtelen sok olyan Euler Lucas pszeudoprim számot tartalmaz, mely pontosan s különböző