Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1987. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 18/11)
Szepessy Bálint: Megjegyzések a valós függvények iterálásához IV
- 47 iterált függvény képét is az [ ^ , 1 ] szakaszban. Az a — és a b = F2 poncok másodrendű fixpontok. Tekintsük az [ 5" ' c ] iHetve a te, 13 szakaszban f <x>-et. iterációs alapfüggvénynek. Mivel f 2Cx) ezeket a szakaszokat önmagára képezi le és ezekben fCx) > c illetve fCx) < cíx^c), ezért l.-nél magasabbrendű páratlan rendszámú fixpontok az említett szakaszokban, s így az <f > 1 ] szakaszban nem léphetnek fel. A bevezetésben is említett (SZEPESSY, 1982) 4., illetve 3. tétel feltételei teljesülnek f 2Cx)-re az £ ^ , c J illetve a [c,l] szakaszban, s ezek szerint f 2Cx>-nek ezekben a szakaszokban legfeljebb másodrendű fixpontjai lehetnek. Az [f- , és az jg- szakasz pontjai aza = g- és a b = j-íj- pontok kivételével f 2Cx>-nek másodrendű, ezért f(x)-nek negyedrendű fixpontjai. Tehát f(x) iterációs alapfüggvénynek a tO,13 szakaszban csak első, másod és negyedrendű fixpontjai vannak. Ez a példa arra mutat, hogy általánosabb esetekben is hasonló lehet a helyzet. Valóban igaz a következő. 1. Tétel : Ha a < d < b és fCx) az La,b] szakaszon értelmezett olyan iterációs alapfüggvény, amelyre f(a)=a, f(d)=b, f(b)=b <d, f fb J = b ^ d í (d<d_ 1<b] relációk teljesülnek és a < x < d esetén x < f<x) < b, valamint f(x) a Jb t >dJ szakaszban monoton növekedő, a [d,b3-ben pedig monoton csökkenő akkor az ta,b3 szakaszban legfeljebb negyedrendű fixpontok lehetnek. (2. ábra) Bizonyítás : Mivel b j<x<b esetén f<x)>b l f ezért az ( a> bi]
