Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1987. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 18/11)

Kiss Péter: A Lucas számok prímosztóiról

- 19 r(p) meghatározása általában igen nehéz. Azt azonban tudjuk, hogy ha p % BD akkor rCp) j ^p-CD/p)J, ahol D=A

2+4B és (D/p) a Legendreszimbólum; továbbá r(p)=p ha p|D , Ezek alapján felvetődik a kérdés, vajon p-CD/p) gCp) = rCp) milyen egész értékeket vehet fel? D. 3ARDEN (1958) bizonyította, hogy a Fibonacci sorozat esetén g(p) függvény nem korlátos, vagyis tetszés szerinti. nagy számnál nagyobb értékeket is felvesz. Ezt az eredményt Bui Minh Phong-gal közösen (P.KISS and B.M.PHONG, 1978) kiterjesztettük tetszésszerinti nem degenerált Lucas sorozatra. Megmutattuk, hogy g(p) nem korlátos függvény, továbbá hogy minden elég nagy p primre sCp

) < c H5F~p 5 ahol c egy A és B-től függő konstans. Nyitott maradt viszont az a probléma, hogy véges vagy végtelen azon primek száma, melyekre g(p)=l, azaz r(p)=p-(D/p)? Vagy felvesz-e g(p) gyakran viszonylag kis értékeket? A következőkben megmutatjuk, hogy g(p) "majdnem minden" primre "nagy". Bebizonyítjuk, hogy ha p az R

n tag primitív prímosztója, akkor g(p) nagyságrendje "általában" nagyobb, mint log n. A következő tételt bizonyítjuk. 1. TÉTEL

. Legyen R egy nem degenerált Lucas sorozat és legyen q(x) egy pozitív értékő nem csökkenő számelméleti függvény, melyre q(n) lim = 0 . n —¥ OO log n