Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1987. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 18/11)

Kiss Péter: A Lucas számok prímosztóiról

- 18 Legyenek A és B rögzített zérustól különböző egész számok. Definiáljunk egy R=ÍR 1 sorozatot az R =0, R =1 kezdő ^ n J n = 0 O 1 elemekkel és az R = A R +B R Cn > 1) n n -1 r> - 2 rekurzív formulával. Az R sorozatot A, B paraméterekkel megadott Lucas sorozatnak, tagjait pedig Lucas számoknak nevezzük. Jelöljük a sorozat f(x)=x

2—Ax—

B definiáló polinomjának gyökeit a ill. ß -val. Ha D=»A

2+4Bí»

f0 és a / ß nem egységgyök, akkor a sorozatot nemdegeneráltnak nevezzük. A továbbiakban feltesszük, bogy R nem degenerált sorozat, mert belátható, hogy a degenerált sorozatok leírhatók mértani, illetve bizonyos értelemben periodikus sorozatok segítségével. A Lucas sorozat A=B=1 speciális esetét Fibonacci sorozatnak nevezzük. A Lucas, illetve a Fibonacci sorozatnak igen sok elemi tulajdonságát ismerjük, manapság is sokan foglalkoznak ezekkel a sorozatokkal. Néhány tulajdonságot, melyekre a későbbiek során szükségünk lesz, felsorolunk, a bizonyítások és további elemi tulajdonásgok megtalálhatók például D.H.Lehmer (1930) cikkében. Ismert, hogy ha p egy prímszám p \ B feltétellel, akkor a sorozatban van p-vel osztható tag. Ezek közül a legkisebb indexű tag indexét r(p)-vel jelöljük és p előfordulási rendjének nevezzük. Tehát p | R

r(r

) , de P + R

t > h

a 0 < i < r<p) . Ha p egy prímszám és valamely n esetén p | R^ , de p X R

m ha 0 < m < n j akkor p-t az R

n tag egy primitív prímosztójának nevezzük. így p primitív prímosztója az R

rCp

) tagnak.