Az Egri Pedagógiai Főiskola Évkönyve. 1960. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis ; Tom. 6)

III. Tanulmányok a nyelv-, az irodalom- és a történettudományok köréből - Perge Imre: Nomogrammok alkalmazása az elsőrendű közönséges differenciálegyenletek iránymezejének az ábrázolására

A második esetben három lehetőség adódik: 1. u és v csak az x függvényei. Tehát d ii (x) o ox 1 = 0, du(x) dx J vagyis a P{x, y) pontok képpontjai egy — az x szerint számozott — görbén helyezkednek el. 2. Analóg eset az elsővel, amennyiben u és v csak az y függvényei és x és y szerepét kell felcserélni. 3. Az u és v mindketten x és y függvényei. Azonban a D determináns értéke nulla, ezért az analízis egyik közismert tétele alapján az u és v nem függetlenek egymástól. Azaz u = u(t); v = v(t) ahol t = cp(x,y) vagyis a P(x, y) pontok képgörbéjének paraméteres alakja u = u(t) ; v = v(t). t minden értékére megfelel egyrészt a képgörbe egy pontja, másrészt a q>(oc,y) = const görbesereg egy görbéje. A harmadik esetben a determináns értéke nem nulla. Ennek következtében mivel a determináns értéke általában ismét csak x és y függvénye az x, y sík egy bizonyos tartományában nem vált előjelet. Ebben a tartományban egy görbehálónak, mint kép, ismét egy görbeháló felel meg. Különösen fontosak a koordinátarendszerek karakterisztikus görbeseregei, vagyis az x = const és y — const, illetve polárkoordinátákban az r = const és (p = const vonalak. Ha ilymódon a taglalt három lehetőséget figyelembe vesszük, akkor a mátrix rangja szerint,, mivel az x, y sík két különböző leképzése szerepel, az vi{x, y) — v.)(x, y) 11 — Kite v) — ui(x, y) differenciálegyenletben hat esettel számolhatunk: Eset 1 2 4 1 5 6 Rang 0 ° 1 1 f) 2 1 1 1 2 2 Rang d

2 0 1 0 2 0 1 2 1 2 1. Rang Dj = 0 és rang D> = 0, ezért P\ és P-> két fix pont, azaz az összes irányegyenesek egybeesnek. A hozzátartozó differenciálegyenlet y = const. 448