Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1979. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 15)

III. TANULMÁNYOK A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK KÖRÉBŐL - Dr. Szepessy Bálint: Megjegyzések a valós függvények iterálásához I

6. ábra Ez azt jelenti, hogy a [h, u_(

n +1)] szakaszban f

n + \(x) felveszi a h értéket, [mert f

n + \(u_

n) = h\, ami lehetetlen hiszen x

0e[w_ x'], (c<x' <u) esetén f{x

0) > h. Ha feltesszük, hogy x (n—2)-edrendű fixpont, akkor képezhető az u_(«_i) = = min (x) , f

n_ 2OO = «_i inverz-iterált pont. így a \h, xl szakaszban van olyan pont, xe[h, JC] amelyre f

n(x) = u_i, ez pedig ellentmond („ +1) értelmezésének. Az x(«—2)-edrendű fixpont sem lehet. Hasonlóképpen mutatható meg, hogy x nem lehet m-edrendű (1 < m < n - 3) fixpont sem. Az xpont tehát n-nél magasabb rendű fixpont. Ez ellentmond annak a feltevésnek, hogy a [h, 1 ] szakaszban nincs «-nél magasabb rendű fixpont. Az ellentmondást feloldva adódik, hogy a fixpontok rendszáma nem korlátos. Ezzel ebben az esetben állításunkat bebizonyítottuk. Ha f

n(x) függvény a [h, u_ («+1)] szakaszt az [u_\; x'] (u <x' < b) szakaszra képezi le, akkor az = min [x] , f

n(x) = u pont létezik és < H_(

rt

+i). Mivel^

+i(w_„) = xe[h,u_

(n +1

}] — u 1 =hésf

n + \(h) = cés f

n(x) folytonos, ezért a [h, szakaszban az/„ + \ (x) — x = 0 teljesül. Van tehát ebben a szakaszban legalább egy olyan x pont, amelyik legfeljebb (n+1 )-edrendű fixpont. 404