Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1979. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 15)

III. TANULMÁNYOK A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK KÖRÉBŐL - Dr. Szepessy Bálint: Megjegyzések a valós függvények iterálásához I

Az x < w_„ <m_ (« + i) így x «-edrendű fixpont nem lehet. A x (n— l)-edrendű fixpont sem lehet, mert ellenkező esetben képezhető az = min [x] ,f

n-i(x) — «-i inverz-iterált pont, ami ellentmond előbbi értelmezésének. xe[h, x] Az előzőekhez hasonlóan belátható, hogy x pontosan (/?+l)-edrendű fixpont. Ez szintén ellentmond az indirekt feltevésnek. Ezzel a példa állítását bebizonyítottuk. BEMERKUNGEN ÜBER DIE ITERATION REELLER FUNKTIONEN B. SZEPESSY (Zusammenfassung) Es sei f(x) eine, in dem geschlossenen Intervall [a, b] definierte und den folgenden Bedingungen, genügende eindeutige reelle Funktion: 1. f(x) ist in jedem inneren Punkte von [a, b], und inden Endepunkten a und b rechts-, bzW. linksseitig stetig, 2. f(x) bildet den gegebenem Intervall auf sich selbst; 3. es gibt kein Intervall in (a, bf, in dem f(x) = const, list. Die funktion f(x) wird iterative Grundfunktion auf dem gegebenen Intervall genannt; es ist weiter für jedes x: f

0(x) = x, f, (x) = f(x), f

2(x) = f[f(x)],.

. .,f

n(x) = f[f

n_i(x)] hier ist f

n(x) die 0-te, erste, zweite, . . ., n-te Iterierte von f(x). Der Punkt c ist ein Fixpunkt erster Ordnung der Funktionen f(x), wenn f(x) = c ist. Gilt f

n(c) ¥= c, n = 1, 2, 3, . . r-1 und f

r(c) = c so ist der Punkt c ein Fixpunkt r-ter Ordnung von f(x). Dann sind die Punkte c^ c

2, c , . . ., c

r paarweise verschiedene Fixpunkte r-ter Ordnung und die Punkte c,

, c

2, . . ., c

r bilden einen Zyklus r-ter Ordnung. Die Grundfrage dieser Arbeit hi . Bei welcher iterativen Grundfunktion gibt es einen Zyklus mit beliebig hoher Ordnungszahl? Wir gewinnen die folgende hinreichende Bedingung: Wenn es in dem geschlossenen Intervall [a, b] zwei solche disjunkten Teilintervalle existieren, die auf den ganzen geschlossenen Intervall [a, b | von f(xj abgebildet werden, dann gibt es Zyklus von beliebig hoher Ordnungszhal. IRODALOM [1] B. BARNA, Über die Iteration reeller Funktionen I. Publ. Math. (Debrecen) 7 (1960), 16-40. [2] B. BARNA Über die Iteration reeller Funktionen II. Publ Math. (Debrecen) 13 (1966), 169-172 [31 B. BARNA, Berichtigung zur Arbeit „Über die Iteration reeller Funktionen II Publ. Math. Debrecen) 20 (1973), 281-282. [4] L. BERG, (Rostock) Über irreguläre Iterations-folgen Publ Mat. (Debrecen) 17. (1970), 112-115. [5] A. RALSTON, A first course in numerical analysis (McGraw-Hill Inc.),New York, 1965. [6] A. BJÖREK,-G. DAHLQUIST, Numerische Methoden (Oldenburg Verl.) München- Wien, 1972. [7] J. STOER, Einführung in die Numerische Mathematik I. (Springer) Berlin-Heidelberg-New York, 1972. 405