Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1979. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 15)

III. TANULMÁNYOK A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK KÖRÉBŐL - Dr. Szepessy Bálint: Megjegyzések a valós függvények iterálásához I

A d pontnak az [

u, e) szakaszbeli inverz-iterált pontjai közül a c_ \-tői jobbra a hozzá legközelebb esőt választva legyen ennek abszcisszája d_ \',d_ \ = miníxl,/(x) = d. c_i<x<e Az a, 7 esetpárra tett hasonló bizonyítással megmutatható, hogy [c_ i, d_ i]i = = (/i_ i = [c, t/] = i±. A c_ i értelmezése szerint c_ i >u, d<u, így a i > d, ezért a i szakasz teljes egészében jobbra van a /! szakasztól; ju n i = <p. Az előbbiekhez hasonlóan képezzük határpontjaiból kiindulva a [c_2, 2] = M-2 intervallumot. Erre teljesül, hogy 2)1 = M-l* A ß-2 és ju_i szakaszoknak nincs közös belső pontjuk, mert ellenkező esetben ezek iteráltja közös belső pontja lenne a ß_ 1 és a ß iterált szakaszoknak, ami az előzőekkel ellenkezne. Az eljárást folytatva olyan végtelen intervallumsorozatot képezhetünk, amelynek elemei páronként diszjunktak; bármely szakasz az előzőtől jobbra (n > 1) és mindegyik az e ponttól balra van. Az is teljesül, hogy (m-(m+1))i = ß-n(

n = 0, 1, 2,. . .). Minden jU-n = [

c-n> dn] szakaszban f

n + \(x) iterált függvény minden [a, b] szakaszbeli értéket felvesz, mert ju_„ kezdő, illetve végpontjában f

n + \(cn) = fic) = b, illetve f(n + l)(d-n) = Ad) = ű és /« +i(x) folytonos, így van a ß_

n szakaszban f

n + l(x) - x függvények 0-helye; pl. x. Az ct, 7 esetpárhoz hasonlóan adódik, hogyx eßn, (x)i e/ii- (n-1) (x)

26/lí_ (n-2)) • • -5 OOn^M, és a jobb oldalon szereplő szakaszok páronként diszjunktak ezért 3c pontosan (/í+l)-edrendű fixpont. Ezzel a tétel bizonyítását befejeztük. A tétel feltételei csak elegendőek bármilyen adott rendű ciklus létezéséhez. Vannak ugyanis olyan iterációs alapfüggvények, amelyeknél a tétel feltételei nem teljesülnek mégis korlátlan a fixpontok rendszáma. A továbbiakban erre adunk példát. Ha fjx) az [a, b] szakaszban a tétel feltételei közül csak az 1., 2., 3. feltételeknek tesz eleget és az [a, d\ szakaszt [d = sup x,J

{x) = b] az egész [a, b] szakaszra, [d, ft]-t pedig [h, b] szakaszra képezi le, ahol h < 1, c_ 1 = maxíx

|,,/(x) = c és c = supfeE /(*) = • d] xe\d, 0] " = x, akkor a fixpontok rendszáma nem korlátos. A bizonyítást h = c_ 1 esetre végezzük el; h < c_ 1 esetén a bizonyítás hasonlóképpen történik. Tegyük fel először, hogy fix) a h = c_ 1 értékeket a [d, b] szakaszban két elsőrendű fixpont között veszi fel. (L. 4. ábra.) Legyen ez az u pont. (Ha több ilyen pont van, akkor bármelyiket tekinthetjük.) Az 1. feltétel értelmében az 1 = min [x }, f{x) = u és d_ 1 = min [x J ,f{x) = d, valaxe[d,u] Xe[d,u\ mint v — 1 = min [x] , f{x) = u és w — d_ \ = min (x}, f{x) = d inverz-iterált pontok xe\u, c\ xe[u, c\ léteznek és az [u_i, gLi] valamint [w, v] szakaszok diszjunktak, (vagy egyik határpontjuk közös). Ezeket/

2(x) iterált függvény az egész [h, b] szakaszra képezi le. A [h, b] szakaszban /

2(x) az 1-, 2., 3. feltételeknek eleget tesz és van két olyan diszjunkt részszakasz, amelyeket a függvény az egész [h, b] szakaszra képez le, ezért az előbbi tétel értelmében a fixpontok rendszáma nem korlátos. Ebben az esetben állításunkat bebizonyítottuk. Legyen ezután u a [c, b~\ szakaszban (5. ábra). Ha az [u, b] szakaszban van olyan pont, amelyre fix) = u teljesül (az ábrán ez a b pont), akkor a bizonyítás az előző esethez hasonlóan történhet. Ha az [u, szakaszban fix)-u nem teljesül, akkor állításunkat a következőképpen bizonyíthatjuk. 26 401